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was 70917 ergiebt, und diese Zahl ist vom Dividend subtrahiert, was 45 als Rest liefert. Der Quotient ist dann 100+B 100+ 100+ 5+ 1+ 1= 307.

Zur Probe werden wieder die Reste von Dividend, Divisor, Quotient und Rest für 9(und 7) genommen. Werden diese Reste beziehungsweise mit di, de, d, r bezeichnet, so muß, die Richtigkeit der Rechnung vorausgesetzt, d= da d+ r sein.

I. Abschnitt. 2. und 3. Pforte. Brüche und gemischte Zahlen.

Die zweite Pforte giebt die Lehre von den Brüchen. In Betreff der Schreibweise, die mit der unsrigen übereinstimmt, bemerkt Misrachi:„Die spanischen Gelehrten pflegen den Zähler über den Nenner zu schreiben und dazwischen einen Strich zu machen, um die Zusammengehörigkeit beider Zahlen auszudrücken.“ Er erwähnt dann die von den arabischen Gelehrten, denen sich Abraham ibn Esra angeschlossen habe, vorgenommene Einteilung der Brüche in aussprechbare und stumme, die nichts mit dem Wesen der Brüche an thun habe, sondern auf einer Eigentümlichkeit der arabischen und der hebräischen Sprache beruhe. Aussprechbar sind die Brüche mit den Nennern 2 bis 10, weil beide Sprachen Wörter für Halbe, Drittel,..., Zehntel besitzen, und ferner diejenigen Brüche, welche sich- multiplicativ aus den genannten zusammensetzen lassen, wie z. B. 11 5, Wofür ½ von 1¼3 ge- sagt wird. Die übrigen Brüche sind stumm und werden qurch eine Umschreibung ausgedrückt; 8o z. B. sagt man, um ½1 1· anzugeben,„1 Teil von 11 Teilen“.

Misrachi teilt, wie die Araber, die Brüche in einfache und vielfache ein: ein einfacher Bruch hat den Zähler 1; der Zähler eines vielfachen Bruches ist— 1. Ferner sieht er die sogenannten Bruch-Brüche, wie z. B. ¾ von ½¼ von 2, wofür ich der Deut-

4 2— 3 2[4 1 ——-————— 7 schreiben werde, oder 47 5—

¾ von von ⅛ von 1, als besondere Arten an. Er würde, wie er bemerkt, so zu einer unendlichen Menge von Arten kommen, setzt aber nur 12 voraus, zu deren Characterisierung ich der Kürze wegen nur die von ihm gewählten Beispiele herschreibe:

lichkeit wegen nicht ¼h ½ 2, sondern 4

1 1 1. 1. 1 1 4 1 21. 1 4 2. 533 3 as 4 3 4 333Zß 5S 2 2 LI. 2.1 1. 2. 2 ,1, 2.1 21. 3. F. ⸗ ,— 3 4

Nachdem noch bemerkt worden ist, daß die Brüche immer in den kleinsten Zahlen ausgedrückt werden sollen, daß uneigentliche Brüche zu vermeiden und unechte durch gemischte Zahlen zu ersetzen sind, wird die Multiplication der Brüche begonnen, die der Addition vorausgehen muß, weil auf ihr die Umformung der Bruch-Brüche beruht. Da jeder von zwei zu multiplizierenden Brüchen jeder der 12 Arten angehören kann, so seien, sagt Misrachi richtig, im ganzen 144 Fälle möglich oder bei Weglassung derjenigen, welche auf dasselbe hinaus- laufen, 12+ 11+ 10+..+ 2+ 1= 78 Fälle. Diese führt er jedoch auf folgende drei zurück: