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3.. findet, durch die Bemerkung, daß 1— 1.= 2, 13+ 4ℳ2— 8+½— algamein 1*+† 1k. † n.. 1) 13 21 1.. 4A n.

5* 1+ 2+„ n †(n † 1)

Zum Schluß wird die sogenannte geometrische Progression behandelt. Mis- rachi giebt die Formel 1+ 2+ 4+8...+ 2==2. 2-1 1 und folgert daraus a+ 2a 4a++ 2—a 2.2— a— a. Sein Beweis ist(in moderner Ausdrucksweise) folgender: Es ist 2 2°—1= 2-1+ 2. 2*2,

22= 2=—. 2. 22-, somit 2, 21= 2— 2*22 2. 2*3 Auf diese Weise ergiebt sich 2. 2—1= 2—1+ 2+ 2+ 4+† 2+ 2. 1, und daraus folgt, wenn beiderseits 1 subtrahiert wird, 2 2 1=2. 2.. 4+4 2. 1. Weiter wird die Summe der Reihe 1+ 3+9+B. 4— 3“= bestimmt. Es ist 3*= 32.31 † 3—, 3 n- 1— 2. 3*2+ 3*9,

3= 2.1+ 1„ also 3 ½= 2(1+ 3 †+...+ 3*¹)+ 1, und daraus folgt, daß 14 44. 94..„ 3= 1 ist.

Auf dieselbe Weise findet Misrachi allgemein an=(a— 1)(1+ a+ a*4++ a=) † 1, ar— 1 a— 1

Das dritte Kapitel, in welchem die Subtraction ganzer Zahlen in der noch jetzt üblichen Weise gelehrt wird, giebt keinen Anlaß zu Bemerkungen. Zur Probe werden wieder die Zahlen 9 und 7 in der oben dargelegten Weise benutzt, auch der Rest zum Subtrahend addiert, wo sich dann der Minuend ergeben muß. Zum Schluß wird darauf aufmerksam ge- macht, daß die Differenz zweier geraden Zahlen und ebenso diejenige zweier ungeraden Zahlen stets gerade, dagegen die Differenz einer geraden und einer ungeraden Zahl stets ungerade ist.

und daraus folgt sodann 1+ a+a²r†...+ aà*l=

Auch bei der Division ganzer Zahlen, die im vierten Kapitel behandelt wird, brauche ich nicht zu verweilen, da nur die Schreibweise von der jetzt üblichen abweicht: Der Divisor wird unter den Dividenden gesetzt; die den einzelnen Quotientenziffern entsprechenden Teilprodukte, bei deren Bildung links begonnen wird, werden nach dem Verfahren der Inder sofort an den betreffenden Stellen subtrahiert und die Reste über die vorhandenen Ziffern geschrieben. Ganz eigentümlich berührt es uns, auch noch eine Division in altä gyptischer Weise ausgeführt zu sehen: Es soll 70962 durch 231 dividiert werden. Das geschieht, indem das 100 fache des Divisors, d. i. 23100 dreimal(unter einander) hingeschrieben wird; darunter wird das 5fache, d. i. 1155 gesetzt, darunter 231 und noch einmal 231; diese 6 Zahlen sind dann addiert,