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3. Wenn 2a= b+ cund b c ist, so ist a2= be+(b— a)². 4. Wenn a= b P+ec ist, so ist a²+† b²= 2 ab+c, 4 ab+ c*=(a+ b)⸗,

a ² a N² a-1² a 2 *†e*= 22) 4E- 2)ry**= 2e)**

Der Rest des zweiten Kapitels ist der Summation verschiedener Reihen gewidmet, die in dem ersten Kapitel noch nicht gelehrt werden konnte, weil die Auswertung der Summe eine Multiplication erfordert.

Den Anfang macht die Reihe der natürlichen Zahlen. Misrachi ermittelt die Summe 1+ 2+ 3+. PX u, jenachdem n gerade oder ungerade ist, be-

n /n 1 ziehungsweise durch Berechnung der identischen Ausdrücke(n+ 1). 2(2— ¹) n. Darauf

lehrt er die Summe der ungeraden Zahlen von 1 bis zu einer gegebenen Grenze kennen und zeigt, daß diese Summe gleich dem Quadrat die Anzahl der Zahlen ist. Dann wird in derselben Weise die Reihe der geraden Zahlen betrachtet und summiert. Der Vollständig- keit wegen wird auch gezeigt, wie man verfährt, wenn eine der betrachteten Reihen nicht mit 1, resp. 2, sondern mit einem späteren Gliede beginnt. In diesem Falle soll zunächst die Summe aller Glieder von 1, resp. 2 an bestimmt und von derselben die Summe der nicht geltenden Glieder subtrahiert werden. Endlich wird die Summe der arithmetischen Reihe all- gemein für ein beliebiges Anfangsglied und eine beliebige Differenz ermittelt.

Eigentümlich ist die Begründung der Formel für die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis zu einer vorgeschriebenen Grenze: Das Verhältnis von 1 zur folgenden Zahl, d. i. 2, hat den Wert ½; das Verhältnis von 1+ 2 zur folgenden Zahl, d. i. 3, hat den Wert 1, ist also um ½ größer als das vorhergehende Verhältnis. Weiter ist(1+ 2+ 3): 4= 1 ½, also ½ mehr als 1. So nimmt das Verhältnis für jede neu hinzutretende Zahl um ½ zu, und auf Grund dieser Bemerkung läßt sich allerdings die in Rede stehende Formel in aller Strenge beweisen.

An die arithmetischen Reihen schließt sich die Reihe der Quadrate der natürlichen Zahlen. Misrachi rechnet verschiedene Beispiele nach der Formel 1 ²+ 22+† 32+ P— n²

— z ten n. 5— 1) Er vergißt auch nicht, an einem Beispiele zu erläutern, daß wenn das erste Glied nicht 1 ², sondern eine andere Quadratzahl ist, man vermittels zweier Additionen und einer Subtraction die verlangte Summe findet. Ebenso betrachtet und summiert er Reihen, die entstehen, indem man die Reihe der Quadratzahlen mit der nämlichen Zahl multipliziert, wie z. B. 3+ 12+ 27+ 48+.. Bei der Begründung der obigen Formel geht er folgendermaßen zu Werke: Er vergleicht die Summe der Quadrate mit der Summe der Zahlen selbst und findet, daß das Verhältnis beider Summen für jede neu hinzu tretende Zahl um wächst. In der That ist 1 2: 1= 1,(1*2+ 2):(1+ 2)= 1%¾, (1 ²2+ 2 ²+ 3):(1+ 2+ 3)= 2 1⅛, u. s. w. und, diese Bemerkung würde, richtig benuzt, j„ 2 2 2 n(n+ 1)(2 n+ 1) einen strengen Beweis der Formel 1 ²+ 2 ² †+† 32+ c n2= 4 2 1 geben. Weiter summiert Misrachi die Kuben der natürlichen Zahlen. Er begründet die

Formel 13+† 23+ 33 4 † n=(1+ 2+ 3+..+ n):, die er natürlich in Worten