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rücken nach links fällt besonders die von den Indern erfundene scha chbrettartige Mul- tiplication ins Auge, welche das Gedächtnis am wenigsten belastet. Sie setzt die Her- stellung einer schachbrettartigen Figur voraus, deren Felder durch gleichlaufende von rechts oben nach links unten gezogene Diagonalen in je 2 Dreiecke geteilt sind, in deren unteres die Einer jedes Partialprodukts geschrieben werden, während das obere die Zehner aufnimmt oder, wenn keine Zehner vorhanden sind, leer bleibt. Nachdem man dann jede Ziffer des einen Factors mit jeder Ziffer des anderen multipliziert und die Produkte in der dargelegten Weise hingeschrieben hat, wird nach den schrägen Kolumnen, welche durch die Diagonalen gebildet werden, addiert. Nach diesem Verfahren berechnet Misrachi das Produkt 236. 125= 29500. Seine Figur ist folgende: 1

2 9 5 0 0

Dieselbe Multiplication wird dann nach der ebenfalls von den Indern herrührenden Methode ausgeführt, welche alle Zwischenrechnungen dem Gedächtnis überläßt und auf der

Formel(ao+ 10. au+ 100. a2+†.).(bo+ 10. b.+ 100. bz+)= ao b+ 10(a, b.+ au b,)+ 100(ao b.+ a1 bi+ as bo) †... beruht.

Zur Probe werden wieder die Zahlen durch ihre Reste für den Divisor 9 oder 7 er- setzt; die Reste der Factoren müssen dann ein Produkt geben, welches, von Vielfachen von 9 oder 7 abgesehen, mit dem Rest des Produkts übereinstimmt; übrigens seien, bemerkt Misrachi, diese Proben unzuverlässig; die einzig richtige Probe der Multiplication sei die Division.

Nachdem so die Ausführung der Multiplication auf verschiedene Weisen gelehrt ist, werden eine Reihe Regeln mitgeteilt, welche offenbar Erleichterungen beim Kopfrechnen ge- währen sollen. Der Kürze wegen will ich mich bei der Wiedergabe der wichtigeren derselben der modernen Ausdrucksweise bedienen. Misrachi berechnet nach der Formel

(a+ b)(a— b)= a 2— b. 29. 31= 900— 1= 899.

(3 a) 2= 10 a 2— a2² 24. 24= 640— 64= 576.

Ga † 1)*=(3a) ²+†+((3 a+ 1)+ 3a1 25. 25= 24 ²+ 49= 625.

Ga- 1)= Ga)((3a— 1)+ 3al 23. 23= 24 2 47= 529,

Die drei letzten Formeln hat auch Abraham ibn Esra in seinem Sefer-Hamispar angewandt. Misrachi geht weiter und giebt(5 a) 2= 10 a ². 2 ½,(5 a+ 1) 2= (5 a)?²+[(5a+ 1)+ 5a] und ebenso die Ausdrücke für(5a— 1) 2,(5a+ 2)²,(5 a— 2) ². Weiter macht er Anwendungen der folgenden Sätze Euklids:

1. Wenn a= b+e P a ist, so ist a?2= ab+ac+ ad.

2. Wenn a= b+C ist, so ist ab= be+ b 2² und a?= b²+ c²+ 2 be.