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oft noch die hebräischen Buchstaben zur Bezeichnung der Zahlen an, und zwar manchmal in der althergebrachten Weise, bei der das ganze Alphabet benutzt wird, manchmal nach dem Positionssystem, welches nur von den 9 Buchstaben, 2, J, 7, 7,,, n, b und der Null Gebrauch macht. Nach diesen Darlegungen wird gezeigt, wie die Addition ganzer Zahlen auszuführen ist..
Es würde die Geduld des Lesers auf eine allzu harte Probe stellen, wenn ich in meiner Berichterstattung hier und bei den übrigen Rechnungsarten auf alle Einzelnheiten— das Unter- ein anderstellen, Einrücken, im Kopf behalten u. s. W.— eingehen wollte. Bei uns lernen die Kinder in den ersten Schuljahren allmälig, was früher in den Lehrbüchern ausführlich dar- gelegt und begründet werden mußte. Auch ist die Sicherheit, die wir im praktischen Rechnen erzielen, eine größere, wie sie früher war, und so erklärt es sich, daß früher ein größeres Gewicht auf sogenannte Proben gelegt wurde, als es jetzt geschieht. Misrachi giebt bei der Addition zuerst die NNeunerprobe, die auf dem zahlentheoretischen Satze beruht, daß eine jede Zahl bei der Division durch 9 denselben Rest wie ihre Quersumme liefert. Man schreibt unter Anwendang dieses Satzes neben jeden Summanden seinen Rest für den Divisor 9 und addiert diese Reste; ihre Summe muß, die Richtigkeit der Rechnung vorausgesetet, gleich dem Rest der zu prüfenden Summe für denselben Divisor sein. Da aber die Rechnung, auch wenn die Probe stimmt, nicht richtig zu sein braucht, indem der Fehler ein Vielfaches von 9 ausmachen kann, so ist diese Probe trügerisch. Ebenso unzuverlässig ist die ebenfalls von den„Alten“ gelehrte Siebenerprobe, bei weleher neben jeden Summanden der durch wirkliche Division zu findende Rest für den Divisor 7 zu schreiben und die Summe dieser Reste zu bilden ist. Ist diese Summe gleich dem Reste der zu prüfenden Summe, so ist die Rechnung vielleicht richtig, im entgegengesetzten Falle sicherlich falsch.
Zu einer Probe, die wirklich erkennen läßt, ob man richtig oder falsch gerechnet habe, gelangt man nach Misrachi durch eine Vervollkommnung der Neunerprobe: Man dividiert die einzelnen Summanden und ebenso die Summe wirklich durch 9 und schreibt für jede Division sowohl den Quotienten als auch den Rest hin. Addiert man dann erstens die Quo- tienten und zweitens die Reste, welche die Summanden ergeben haben, so müssen diese Summen beziehungsweise mit dem Quotienten und dem Reste der auf ihre Richtigkeit zu prüfenden Summe übereinstimmen.
Im zweiten Kapitel wird auf Grund der vorher gegebenen Einteilung der Zahlen in Einer, Einer mit angehängten Nullen und allgemeine mehrstellige Zahlen gezeigt, daß bei der Multiplication zweier Zahlen 6 verschiedene Fälle zu unterscheiden seien. Im ersten Falle handelt es sich um die Multiplication zweier einstelligen Zahlen, und da eine solche sich nicht auf etwas Einfacheres zurückführen lasse, so seien alle Multiplicationen dieser Art in einer Tabelle zusammenzustellen, die man sich allmälig aneignen müsse. Diese Tabelle, das Einmaleins, hat die Form eines durch eine Diagonale(in welcher die Quadratzahlen stehen) in zwei Dreiecke geteilten Quadrats; da der Satz a. b= b. a zur Anwendung gekommen ist, so konnte das eine Dreieck leer bleiben.
Die Multiplication mehrstelliger Zahlen wird dann auf verschiedene Arten gelehrt, die sich in der Schreibweise und hinsichtlich der Anforderungen unterscheiden, die sie an das Gedächtnis des Rechnenden stellen. Neben der jetzt gebräuchlichen Schreibweise mit dem Ein-