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die Kunstgriffe aller Schriftsteller und ihre Grundlagen begreifen und, wenn Gott ihn durch Verleihung von Verstand begünstigt habe, deren neue erfinden können.
Nachdem er sodann den Zweck der Arithmetik dargelegt, geht er zur Definition der Zahl über, die einer Einteilung der Zahlen vorangehen müsse. Die von den früheren Schriftstellern gegebene Definition:„Die Zahl ist eine Vereinigung von Einheiten“ entspreche, setzt er auseinander, nicht den Forderungen der Logik. Nach ihm ist die Zahl eine discrete Größe(zum Unterschiede von den continuierlichen Größen Linie, Fläche, Körper, Raum und Zeit), deren Maaß die Einheit ist.
Die Zahlen zerfallen in solche, welche jede für sich allein verständlich sind, und solche, welche, um verstanden zu werden, einer anderen Zahl bedürfen, mit der sie verglichen werden. Die erste Art sind die ganzen Zahlen, die zweite Art die Brüche, und die Verbindung beider erzeugt noch eine dritte Art, die gemischten Zahlen.
Nach einer Aufzählung der verschiedenen Anwendungen der Arithmetik(im Handel; bei der Ausmessung von Ebenen und Körpern; für viele Gegenstände der Geometrie, die man wissen muß, um bei der Teilung von Häusern und Höfen sich vor Unterdrückung und Beein- trächtigung zu schützen und Jedem das Seine zu geben; zur Bestimmung der Bewegungen der Gestirne, von denen die Monate und Feste abhängen; u. s. w.) legt Misrachi dar, daß es im Grunde nur drei Rechnungsarten gebe: die Addition, die Subtraction und die Division. Wenn nämlich nur eine Zahl vorliege, so sei von einer Rechnung keine Rede. Eine solche setze zwei Zahlen voraus, und zwar könne entweder die eine Zahl um die an- dere vermehrt, oder um die andere vermindert werden, oder endlich es könne das Verhältnis der einen zur andern genommen werden. Die Multiplication sei Nichts als eine Addition gleicher Zahlen und nur zur Abkürzung der Schreibweise als besondere(vierte) Rechnungsart eingeführt. Jede dieser 4 Rechnungsarten könne mit jeder der genannten 3 Zahlenarten(Ganze, Brüche, gemischte Zahlen) vorgenommen werden.
Die Verdoppelung und Halbierung*) würden von einigen älteren Schrift- stellern mit Unrecht als besondere Rechnungsarten behandelt, denn Verdoppelung sei Multipli- cation mit 2 und Halbierung Multiplication mit ½; man nehme zwar die Multiplication als
*) Das uns so einfach scheinende Multiplizieren zweier ganzen Zahlen ist das Ergebnis einer Jahrhunderte langen Thätigkeit des menschlichen Geistes. In dem durch August Risenlohr unserem Verständnis erschlossenen Papyrus Rhind, dessen Eutstehung bis 2000 v. Chr. hinauf reicht, ist jede Multiplication durch successive Verdoppelungen und eine darauf folgende Addition ersetzt; auch ein Divi- dieren kommt noch nicht vor, sondern es wird der Divisor mit einer Reihe von Zahlen multipliziert, die so gewählt werden, daß die Summe der Partialprodukte dem Dividend gleichkommt, und die Summe der genommenen Multiplicatoren ist dann der Quotient. Die Griechen unterschieden hinsichtlich der Multipli- cation und Division eine ägyptische und eine griechische Methode, und die Vermutung liegt nahe(Paul Tannery, La géomötrie grecque, p. 49), daß die ägyptische Methode diejenige des Papyrus gewesen sei, während die griechische Methode der Multiplication darin bestanden habe, daß Ziffer mit Ziffor multipliziert wurde, was die Kenntnis des Einmaleins voraussetazt.
Wie dem auch sei, die Verdoppelung und Halbierung haben bis in das 16. Jahrhundert ihren Platz als besondere Rechnungsarten in vielen Lehrbüchern behauptet. Noch Nicolo Tartaglia hult es in seinem General trattato di numerie misure(1556—- 1560) für nötig, sich dagegen auszu- sprechen.