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eine ganze Zahl ſein. Hierzu iſt erforderlich, da d und„ relative Primzahlen ſind, daß* in (— S) aufgehe, d. h. daß
ſei.
=(mod. 2)
Wenn alſo beide Glieder einer Congruenz a= b(mod. m) einen gemeinſchaftlichen Diviſor d haben, der prim zu m iſt, ſo kann man beiderſeits durch d dividiren und erhält eine für denſelben Modul m richtige Congruenz. So folgt aus 26= 12(mod. 7) die Congruenz 13= 6(mod. 7). Hat aber d mit dem Modul m den größten gerzenichaftlichen Diviſor d, ſo gilt die durch jene Diviſion erhaltene neue Congruenz nur für den Modul
Aus 28= 16(mod. 6) folgt 7= 4(mod. 3, nich mod. 6).
5. Anwendungens Die vorhergehenden Sätze ſinden im gewöhnlichen Rechnen vielfache Anwendung. Zunächſt ergeben ſich aus ihnen die verſchiedenen Regeln, nach denen man ent⸗ ſcheidet, ob eine vorgelegte Zahl durch gewiſſe Zahlen theilbar iſt oder nicht. Es ſei nämlich P eine Zahl, welche a Einer, b Zehner, e Hunderte, u. ſ. w. enthält, alſo
P= a+ 10b+ 100 c+†...
Iſt dann für einen Modul m 4 10= a, 100= 95, u. ſ. w., ſo gibt P, durch m dividirt, denſelben Reſt wie
a+ ab+ Be+.., und wenn dieſe letztere Zahl durch m theilbar iſt, ſo muß auch P durch m theilbar ſein. Beiſpiele: I. Sowohl für den Modul 3, als auch für den Modul 9 iſt 10= 100= 1000=...= 1,
folglich P= a+ b+e+†..„ und dieſe Formel drückt den bekannten Satz aus, daß jede Zahl bei der Diviſion durch 3 oder 9 denſelben Reſt wie ihre Querſumme läßt. II. Für den Modul 11 iſt
10=— 4, 100=+ 1, 1000— 1, u. ſw,
folglich P= a— b+ e— d+.., und mittels dieſer Formel kann man unterſuchen, ob eine Zahl durch 11 theilbar iſt. III. Es ſei hier und in den folgenden Beiſpielen die Zahl P= a+† 10b, wo a die Anzahl der Einer und b die Zahl bezeichnet, die aus P bei Fortlaſſung der Einer wird. Nun iſt für den Modul 7
folglich P= 8a— 4b=— 4(b— 2a), und wenn P durch 7 theilbar ſein ſoll, ſo muß b— 2a durch 7 theilbar ſein. So iſt 2422 durch 7 theilbar, wenn 7 in 242— 4= 288 aufgeht, „ 238„ 2„„„ 23— 16= 7 7 3 und da 7 durch 7 theilbar iſt, 43 iſt auch 2422 durch 7 theilbar.
10— 4, 1 2 8,