IV. Für den Modul 13 iſt 10=— 3, 1=— 12, folglich P=— 12a— 3 b=— 3(b+ 42), und wenn P durch 13 theilbar ſein ſoll, ſo muß 13 in b+ 4a aufgehen.

Unterſucht man mit Rückſicht hierauf die Zahl 701064, ſo erhält man der Reihe nach die neuen Zahlen 70122, 7020, 702, 78, 39, und da 39 durch 13 theilbar iſt, ſo iſt es auch jede der vorhergehenden Zahlen.

V. Für den Modul 19 iſt 10=— 9, 1=— 18, folglich P=— 18a— 9b=— 9(b+ 2a). dn. 196.,

Die Anwendung dieſer Formel bietet nach dem Vorhergehenden keine Schwierigkeit. Sie leitet aus der Zahl 16536194 der Reihe nach 1653627, 165376, 16549, 1672, 171, 19 her, und da die letzte durch 19 theilbar iſt, ſo ſind es auch alle vorhergehenden.

In ähnlicher Weiſe könnte man für andere Diviſoren Regeln herleiten; doch iſt es meiſt zweckmäßiger, die Diviſion ſelbſt auszuführen, als derartige Regeln anzuwenden.

Die oben hergeleiteten Sätze laſſen noch eine andere Anwendung zu. Hat man nämlich eine Reihe von Zahlen durch Addition, Subtraction oder Multiplication vereinigt, ſo erſetze man, um das Reſultat zu prüfen, jene Zahlen durch ihre Reſte für irgend einen Modul(am zweck⸗ mäßigſten 9 oder 11). Vereinigt man nun dieſe Reſte in der vorgeſchriebenen Weiſe, ſo muß das Reſultat, wenn die Rechnung richtig iſt, denſelben Reſt wie das anfänglich erhaltene liefern.

6. Wurzeln von Congruenzen. Bezeichnen A, B, C,..„ N, P gegebene ganze Zahlen und n eine poſitive ganze Zahl, ſo iſt

Ax+† Bx-+ Cx-=..+ N+† P= o(mod. m) eine Congruenz men Grades mit einer Unbekannten X. Wenn jeder der Coefficienten A, B,..„ P durch den Modul m theilbar iſt, ſo wird die Congruenz durch jeden Werth von x befriedigt; in dieſem Falle nennt man ſie eine identiſche Congruenz. Die Congruenz iſt unmöglich, d. h. es gibt keinen Werth von x, der ihr genügt, wenn alle Coefficienten mit Ausnahme von P durch m theilbar ſind.—

Wenn weder das eine noch das andere ſtattfindet und x eine Zahl iſt, nach deren Ein⸗ ſetzung an die Stelle von x die linke Seite der Congruenz durch m theilbar iſt, ſo nennt man x eine Wurzel der Congruenz. So iſt 2 eine Wurzel von 3X+ 7= o(mod. 13); denn 3 2+ 7= 13 iſt durch 13 theilbar.

Hat eine auf den Modul m bezügliche Congruenz eine Wurzel X, ſo wird ſie nach§. 2, 4 auch durch jede der unendlich vielen Zahlen befriedigt, welche nach dem Modul m con⸗ gruent ſind. Die linke Seite der vorhergehenden Congruenz wird z. B. durch 13 theilbar, wenn man ſtatt x eine der Zahlen 15, 28, 41, 54 u. ſ. w. oder— 11,— 24, u. ſ. w. einſetzt. Alle dieſe Zahlen ſieht man aber nur als eine einzige Wurzel an, und die verſchiedenen Wurzeln einer Congruenz beſtimmen, heißt die incongruenten Zahlen ermitteln, welche der Congruenz genügen.

Enthält eine Congruenz mehrere Unbekannte X, y,..., oder liegen mehrere Congruenzen mit mehreren Unbekannten vor, ſo bilden die zuſammengehörigen Werthe XI, yi,.. welche gleichzeitig allen Congruenzen genügen, eine Auflöſung derſelben.

Beiſpiel. Eine Auflöſung der Congruenz

3 x+ 5y+ 6= o(mod. 17) iſt X= 2, y= 1.