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eine ganze poſitive Zahl bedeutet. Die zugleich durch a und betheilbaren Zahlen haben alſo die Form abl und werden erhalten, wenn man 1 die Werthe 1, 2, 3,... annehmen läßt. Die kleinſte dieſer Zahlen entſpricht dem Werthe 1= 1 und iſt gleich ab.

2. Fall. Haben a und b einen größten gemeinſchaftlichen Diviſor d, ſo iſt das ge⸗

ſuchte Vielfache

Beweis. Es ſei a= ad, b= d, wo a, 5 relative Primzahlen ſind. Dann iſt jedes Vielfache von a von der Form adk. Soll dasſelbe durch be= Sd theilbar ſein, ſo muß Sd in ædk, d. h. in ak aufgehen, und da prim zu a iſt, k durch 6 theilbar ſein. k hat alſo die Form gl. Die Vielfachen von a und b ſind daher in den Ausdruck.νdl enthalten und ergeben ſich, wenn man 1 der Reihe nach die Werthe 1,2 2, 3, beilegt. Das kleinſte Vielfache ent⸗ ſpricht dem Werthe l= 1 und iſt

1, ee Aufgabe II. Das kleinſte Vielfache beliebig vieler gegebenen Zahlen a, b, c, u. ſ. w.

zu finden.

Die Löſung dieſer Aufgabe beruht auf dem ſdlgenden Satze, deſſen Wahrheit aus den obigen Entwicklungen erhellt:

Wenn m das kleinſte und M ein Beliblats Lielfache der beiden Zahlen a, b iſt, ſo geht m in M auf.

Dies vorausgeſetzt, beſtimmen wir in der angegebenen Weiſe das lleinſte ielfache m der beiden Zahlen a, b und darauf das kleinſte Vielfache n von m und c; dann iſt n das kleinſte Viel⸗ fache der drei Zahlen a, b, c.

Beweis. Da die durch a und b theilbare Zahl m in n aufgeht, ſo geht jede der Zahlen a, b in n auf. n iſt aber auch ein Vielfaches von c, alſo ein Vielfaches der drei Zahlen a, b, c.

Es iſt jetzt noch zu zeigen, daß n das kleinſte Vielfache von a, b, c iſt. Gäbe es eine kleinere Zahl», welche durch a, b, c theilbar wäre, ſo müßte dieſelbe, weil durch a und b, auch durch m, und, weil durch m und c, auch durch n theilbar ſein. Das iſt aber unmöglich, weil* kleiner als n iſt. n iſt alſo das kleinſte Vielfache von a, b, c.⸗

Man ſieht leicht, wie man durch Fortſetzung dieſer Schlüſſe das Uleinſte Vielfache beliebig vieler Zahlen beſtimmt.

10. Die Function 40(m). Von beſonderem Intereſſe iſt es, zu beſtimmen, wie viele Zahlen prim zu einer gegebenen Zahl m und nicht größer als m ſind. Die Anzahl dieſer Zah⸗ len pflegt man mit„(m) zu bezeichnen.

So gibt es eine Zahl, nämlich 1, welche prim zu 1 und nicht größer als 1 iſt. Es iſt folglich(1)= 1.

Prim zu 6 und nicht größer als 6 ſind die beiden Zahlen 1, 5; folglich iſt„(6)=

Ebenſo erhät man leicht

9(2)= 1, 903)= 2, 9(4)= 2, 9(5)= 4, u. ſ. w.

Um elgennein zu beſtimmen, wie viele Zahlen prim zu m und nicht größer als m fünd, denken wir uns m in ſeine Primzahlfactoren zerlegt,

m= aa b c-...