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Beweis. Da a und b relative Primzahlen ſind, ſo gelangt man bei den in(7), Aufgabe I angegebenen Diviſionen zum Reſt 1, erhält alſo die Gleichungen

a= bq+ c . b= cr+ d

Werden dieſelben ſämmtlich mit k multiplicirt, ſo verwandeln ſie ſich in

ak= bqk+ ck bk= crk+ dk

-...

fk= guk+ k.

Daraus erkennt man, daß ein gemeinſchaftlicher Diviſor von ak und b auch in ck, folg⸗ lich auch in dk, u. ſ. w., endlich auch in k aufgehen muß.

Iſt im Beſondern ak durch b theilbar, ſo muß auch kꝛ durch b theilbar ſein.

Lehrſatz II. Wenn jede der beiden Zahlen a, k prim zu b iſt, ſo iſt auch das Produkt ak prim zu b.

1 Beweis. Ein gemeinſchaftlicher Diviſor von ak und b müßte, da a prim zu b iſt, nach Lehrſatz I in k aufgehen, während k prim zu b ſein ſoll.

Zuſatz. Potenzen relativer Primzahlen ſind prim zu einander.

Beweis. Iſt a prim zu b, ſo iſt nach Lehrſatz II auch at, folglich nach demſelben Satze auch a:*, u. ſ. w., allgemein a⸗ prim zu b..

Auf dieſelbe Weiſe folgt aus der Annahme, b ſei prim zu au, daß auch b', b', allge⸗ mein b' prim zu a“ iſt. Mithin ſind a*, b“ relative Primzahlen.

9. Das kleinſte Vielfache mehrerer Zahlen.— Liegen mehrere Zahlen a, b, c, u. ſ. w. vor, ſo nennt man die kleinſte Zahl, welche durch jede derſelben theilbar iſt, das kleinſte Vielfache von a, b, c, u. ſ. w.

Wenn die Zahlen a, b, c, u. ſ. w. in ihre Primfactoren zerlegt ſind, ſo bildet man das kleinſte Vielfache auf folgende Weiſe: Man nimmt jede Primzahl, die in einer der Zahlen a, b, c, u. ſ. w. vorkommt, gibt ihr den größten Exponenten, den ſie in einer derſelben hat, und bildet das Produkt aller ſo erhaltenen Potenzen.

So z. B. iſt für die Zahlen

504= 2³ 31.. 7, 240= 24 3. 5, 864= 25. 34

das kleinſte Vielfache 2⁵ 3 5 7= 30240.

Wir wollen jetzt zeigen, wie man das kleinſte Vielfache gegebener Zahlen ermittelt, ohne ihre Primzahlfactoren zu benutzen.

Aufgabe I. Das kleinſte Vielfache zweier Zahlen a, b zu finden.

1. Fall. Wenn a und b prim zu einander ſind, ſo iſt das Produkt ab das kleinſte Viel⸗ fache beider Zahlen.

Beweis. Das kleinſte Vielfache muß durch a theilbar, alſo von der Form ak ſein, wo k eine beliebige ganze poſitive Zahl iſt. ak ſoll nun aber auch durch b theilbar ſein, und da a prim zu b iſt, ſo muß b nach(8), Lehrſatz I in k aufgehen, alſo k= bl ſein, wo I irgend