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Zahlen gibt, die kleiner als m ſind, ſo muß die Reihe der Operationen einmal ein Ende nehmen. Jede zuſammengeſetzte Zahl kann alſo als das Produkt von Primzahlen dargeſtellt werden. Es iſt z. B. 60= 2. 2 3. 5.

Tritt in der Zerlegung einer Zahl m eine Primzahl a wiederholt, etwa a mal, als Factor auf, ſo ſchreibt man ſtatt der« Factoren a einfach die Potenz aa. Ebenſo verfährt man mit den übrigen Primzahlfactoren b, c u. ſ. w., die beziehungsweiſe 5, u. ſ. w. mal vorhanden ſein mögen. Dann wird die Zahl m auf die Form

m= aa b6 c/....

gebracht, wo a, b, c u. ſ. w. ungleiche Primzahlen, e, g, 7 u. ſ. w. ganze poſitive Zahlen bezeichnen.

Beiſpiel: 504= 2³. 3². 7.

Wir haben nun zu beweiſen, daß jede zuſammengeſetzte Zahl nur auf eine Weiſe in Prim⸗ zahlfactoren zerlegt werden kann. Dieſer Beweis beruht auf folgenden Sätzen:

Lehrſatz I. Das Produkt zweier poſitiven Zahlen, die kleiner als eine Primzahl p ſind, iſt durch p nicht theilbar.

Beweis. Wir nehmen an, es gebe zwiſchen 1 und p mehrere Zahlen b, c, d u. ſ. w. von der Beſchaffenheit, daß das Produkt einer jeden in die demſelben Intervall angehörende Zahl a durch p theilbar ſei. Die kleinſte der Zahlen b, c, d u. ſ. w. ſei b. Nun muß erſtens b ₰ 1 ſein; denn für b= 1 wäre ab= a, alſo a der Vorausſetzung zuwider durch p theilbar. Ferner kann b nicht in p aufgehen, da p eine Primzahl iſt. Wir werden alſo, wenn wir p durch b dividiren, einen Quotienten q und einen Reſter erhalten, der von Null verſchieden und kleiner als b iſt; es iſt dann p= bq+ r, folglich ap= abg+ ar.

Nun iſt offenbar ap und(der Vorausſetzung nach) auch abg durch p theilbar; p muß daher auch in ar aufgehen, d. h. r muß ſich unter den oben angegebenen Zahlen b, c, d u. ſ. w. vorfinden. Unſere Annahme, b ſei die kleinſte dieſer Zahlen, führt alſo zu dem Reſultat, daß es noch eine kleinere Zahl r von derſelben Beſchaffenheit gibt. Es gibt alſo überhaupt keine Zahl zwiſchen 1 und p, deren Produkt in a durch p theilbar wäre.

Lehrſatz II. Wenn weder a noch b durch p theilbar iſt, ſo iſt auch das Produkt ab durch p nicht theilbar.

Beweis. Wir dividiren jede der beiden Zahlen a, b durch p und nennen die erhaltenen Quotienten A, B, die erhaltenen Reſte&,„, ſo iſt a= p A+ a, b= p B+ alſo ab= PAB+ aB+ 6 A P,+ aß.

Wäre nun ab durch p theilbar, ſo müßte p offenbar auch in. aufgehen. Das iſt äbern da jede der Zahlen«α,„ kleiner als p iſt, nach Lehrſatz I. unmöglich.

Zuſatz. Wenn keine der Zahlen a, b, c, d u. ſ. w. durch p theilbar iſt, ſo i 3 Produkt abcd... durch p nicht theilbar. be aiß Iuch nae

Beweis. Nach Lehrſatz II. iſt ab nicht durch p theilbar; folglich geht[nach demſelben Satze) p auch nicht in ab. c= abc auf, u. ſ. w.

Mit Hülfe dieſer Sätze beweiſt man leicht den oben ausgeſprochenen 2

Lehrſatz III. Jede zuſammengeſetzte Zahl kann nur auf eim e⸗Weiſe ain Primzahlfactoren zerlegt werden. 106 969. 891

Beweis. Angenommen, die Zahl A=a b5 GT G e Wor a9 b, cr u. ſ. waungleiche Primzahlen ſind, ſei noch auf eine zweite Weiſe in Primzahlfactoren zerlegt wordend Dann kann⸗ das zweite Factoren⸗Syſtem keine Primzahl enthalten, dis ſich nicht auch im erſteren porfindet ⸗