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25, 35 u. ſ. w. Ebenſo verfährt man weiter mit 7, 11, 13 u. ſ. w. Die bei dieſer Operation ſtehen gebliebenen Zahlen ſind die ſämmtlichen in dem betrachteten Gebiete vorhandenen Primzahlen.

Es fragt ſich nun, welches die letzte Primzahl iſt, mit der man dieſe Abzählung beginnen muß, um alle Primzahlen bis zu einer gewiſſen Grenze a zu erhalten. Das ergibt ſich aus fol⸗ gender Bemerkung: Wenn eine zwiſchen 1 und a liegende Zahl b das Produkt zweier Factoren m, n iſt(b= m. n), von denen der eine mehr als jia beträgt, ſo muß der andere kleiner als Va ſein. Die Zahl b fällt demnach bei dem obigen Verfahren ſchon durch die mit dem kleineren Factor beginnende Abzählung weg, und es iſt überflüſſig, die Abzählung von dem größeren Factor aus vorzunehmen. Die letzte Zahl, von der aus man abzuzählen hat, um alle zwiſchen 1 und a liegenden Primzahlen zu finden, iſt alſo die größte Primzahl, welche kleiner oder gleich Va iſt.

Beiſpiel: Da 1100= 10 und 7 die größte Primzahl iſt, die nicht größer als 10 iſt, ſo hat man, um alle Primzahlen bis 100 zu erhalten, in der oben dargelegten Weiſe nur mit den Zahlen 3, 5, 7 zu verfahren.

Man erhält, wenn die wegfallenden Zahlen in Klammern geſetzt werden,

3, 5, 7,[9], 11, 13, 115, 17, 19,[21], 23,[25],[27, 29, 31,[33],[35], 37, [39, 41, 43,[45], 47,[49],[51], 53,[55],[57], 59, 61,[63],[65], 67,[69], 71, 73, [751,[II, 79,[81], 83,[S5],[87], 89,[91,[93],[95], 97,[99].

Es gibt alſo zwiſchen 1 und 100 folgende 25 Primzahlen:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

3. Anzahl der Primzahlen. Lehrſatz. Es gibt in der natürlichen Zahlenreihe un⸗ endlich viele Primzahlen..

Beweis. Wäre die Anzahl der Primzahlen eine endliche, ſo müßte eine derſelben, etwa p, die größte und jede über p hinausliegende Zahl zuſammengeſetzt ſein. Würde dann das Pro⸗ dukt aller vorhandenen Primzahlen 2, 3, 5,..„ p gebildet und dies Produkt um eine Ein⸗ heit vergrößert, ſo erhielte man eine Zahl

A= 2. 37. 5...p„+ 1,

welche augenſcheinlich größer als p und durch keine der Primzahlen 2, 3,..„ p theilbar iſt, da ſie bei der Diviſion durch jede dieſer Zahlen den Reſt 1 läßt. A wäre alſo entweder ſelbſt eine Primzahl oder durch über p hinausliegende Primzahlen theilbar. Unſere Annahme, p ſei die größte Primzahl, führt ſomit zu dem Ergebniß, daß es noch eine größere Primzahl gibt. Die Reihe der Primzahlen iſt daher, wie die natürliche Zahlenreihe, unbegrenzt.

4. Aufeinanderfolge der Primzahlen. Ein Geſetz, nach welchem die Primzahlen aufeinander folgen, iſt nicht entdeckt worden. Ebenſo wenig iſt es gelungen, allgemein zu be⸗ ftimmen, wie viele Primzahlen zwiſchen beliebig gegebenen Grenzen liegen, trotzdem bedeutende Mathematiker ſich nicht ganz ohne Erfolg mit dieſer Frage beſchäftigt haben.

5. Zuſammengeſetzte Zahlen. Eine zuſammengeſetzte Zahl m läßt ſich der Defini⸗ tion nach als das Produkt zweier Factoren darſtellen, von denen jeder kleiner als m iſt. Jeder Factor iſt entweder eine Primzahl oder zuſammengeſetzt. Im letzteren Falle läßt er ſich wieder in zwei Factoren zerlegen, von denen jeder kleiner als er ſelbſt iſt. Auf dieſe Weiſe fortfahrend, muß man endlich zu Zahlen gelangen, die nicht weiter zerlegt werden können, d. h. zu Prim⸗ zahlen; denn man kommt zu immer kleineren Factoren, und da es nicht unendlich viele ganze