Einführung in die Zahlentheorie.

Die nachſtehende Arbeit ſoll den Schülern der beiden erſten Claſſen unſerer Schule Ge⸗ legenheit geben, ſich durch Privatſtudium mit den Elementen der Zahlentheorie(der Lehre von den Eigenſchaften der ganzen Zahlen) vertraut zu machen, eines Zweiges der Mathematik, auf den beim Unterricht an Realſchulen, die ihren Zöglingen eine mehr auf das praktiſche Leben gerichtete Vorbildung zu geben haben, kein Gewicht gelegt werden kann.

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§. 1. Primzahlen und zuſammengeſetzte Zahlen.

1. Definition. Jede Zahl a läßt ſich durch ſich ſelbſt und durch die Einheit ohne Reſt theilen, hat alſo wenigſtens zwei Diviſoren, nämlich 1 und a. Eine Zahl, welche nur dieſe beiden Diviſoren zuläßt, wird eine abſolute Primzahl oder ſchlechtweg eine Primzahl genannt. Eine Zahl, die dieſer Definition nicht entſpricht, heißt zuſammengeſetz.

Eine Primzahl iſt z. B. 13; dagegen iſt die Zahl 15 zuſammengeſetzt, da ſie außer 1 und 15 auch noch die Diviſoren 3 und 5 hat.

2. Ermittlung der Primzahlen. Die einzige gerade Primzahl iſt 2; alle übrigen Primzahlen ſind ungerade. Daher hat man, um die Primzahlen zu ermitteln, nur die un⸗ geraden Zahlen

992 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, u. ſ. w.

ins Auge zu faſſen. Aus dieſer Reihe ſcheidet man nach einem dem Eratoſthenes(250 v. Chr.) zugeſchriebenen Verfahren(„Sieb des Eratoſthenes“) die zuſammengeſetzten Zahlen in folgender Weiſe aus:

Man ſtreicht, mit 3 beginnend, die 3“, 6, 9“„ u. ſ. w. Zahl aus; dadurch fallen offenbar alle durch 3 theilbaren ungeraden Zahlen, nämlich 9, 15, 21, 27 u. ſ. w. weg. Darauf ſtreicht man, mit 5 beginnend, die 5 ,, 10„, 15“9 u. ſ. w. Zahl aus, wobei die bereits weggefallenen Zahlen mitzuzählen ſind, und entfernt dadurch alle durch 5 theilbaren ungeraden Zahlen 15,