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dn 1321 9, n denn eine ſolche würde nach dem vorhergehenden Zuſatz nicht in a- b„ d. h. nicht in A aufgehen. Ebenſo kann dem zweiten Syſtem keine Primzahl des erſteren fehlen; denn eine ſolche würde nach demſelben Zuſatz nicht in das Produkt der Zahlen des zweiten Syſtems, d. h. nicht in A aufgehen. 5 ID J in Beide Syſteme könnten ſich alſo nur dadurch unterſcheiden, daß ein und dieſelbe Primzahl in dem einen einen größeren Erponenten als in dem anderen hätte. Es ſei p eine ſolche Prim⸗ zahl, welche im einen Syſtem den Exponenten m, im anderen einen größeren Exponenten m ˖ n hat. Dann würden wir für die Zahl b zwe Zerlegungen haben, von denen die eine die Prim⸗ zahl p gar nicht, die andere den Factor p' enthielte, was, wie bereits gezeigt, unmöglich iſt. Beide Zerlegungen ſtimmen alſo auch hinſichtlich der Exponenten vollſtändig überein.

6. Diviſoren einer Zahl. Hat man eine Zahl m auf die Form 4¹

m= aa bs cr..

Ir

gebracht, ſo iſt es leicht, ihre ſämmtlichen Diviſoren anzugeben. am hat zunächſt des Factors a“ wegen die(¶+ 1) Diviſoren(I) 1, a, a², as,. aa. Weil m ferner den Factor bs enthält, ſo geht auch jede Zahl in m auf, die entſteht, wenn man die Zahlen(D der Reihe nach mit b, b*,... bs multiplicirt. Man erhält auf dieſer Weiſe aus jeder der Zahlen(D), alſo im Ganzen(¶+ 1) neue Diviſoren von m, nänlich

(ID) b, ab, a²b,.., aab; bs, ab, alb',..., aabz,... bs, abs, a²b6,..., a4bs,

und die Geſammtzahl der Diviſoren, die nur aus a und b gebildet ſind, iſt

(«+ 1)+†(ĩ †. 1) G=(α 1)(6+ 1).

Dazu kommen noch, mit Rückſicht auf den Factor c?, alle Zahlen, die man erhält, wenn man die(·+ 1)(+ 1) Zahlen(D und(II der Reihe nach mit c, ci,.„ cr multiplicirt. Dies liefert( 1)(+ 1) neue Diviſoren. Man hat dann im Ganzen

(l+† 1)(6+† 1)++ 1)(6+ 1) 7=(+ 1)(+† 1) 0+† ¹) Diwiſoren. Durch Fortſetzung dieſer Schlüſſe erkennt man, daß eine Zahl.

m= aa b6 c.. EH A J A 1479 (&4 1)(GH 1) G † 1). 4. G 4. h Diviſoren hat. Dieſelben ſind, wie man leicht ſieht, ſämmtliche Glieder des Produkts (-+ a2 4† a²†. e. a⸗)(1 † b 4 b⸗ †... 4. ba)..+‿ X+† H †*).

Beiſpiel. Die Zahl 504= 23. 3². 7 hat 4 3% 2= 24 Diviſoren, nämlich:

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 56, 63, 72, 84, 126, 168, 252, 504.

7. Der größte gemeinſchaftliche Diviſor mehrerer Zahlen, Der größte gemeinſchaftliche Diviſor mehrerer in ihre Primzahlfactoren zerlegter Zahlen m, n u. ſ. w. wird gefunden, indem man jede Primzahl nimmt, die allen dieſen Zahlen gemeinſchaftlich iſt, ihr den

genau