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Wenn man hier z ſtatt x ſetzt, ſo erhält man œ 1

2—X2 1— 2 n 1„ ſe. 2n de=t ſe. 2 dz= ZIn+, & 2 2 2 0 0 wenn man die Euler'ſche Bezeichnung benutzt ◻ . X a— 1 — 9 drX dx= Ta 0

Da auch Hean= I2n+ 1, ſo iſt Rn— kan Fen+ 1 und da I/+† TIn+ 1, ſo iſt

Fn+. 1 oder 1 1. 2.3... n Rn— 2 k 2n 2 J3— 2n. d. h. 1 kn 1 Eo.T. e T. 19 1h.n.n

Es iſt leicht einzuſehen, daß bei ſehr großem n dieſer Ausdruck beliebig klein wird, und

ſomit wird noch vielmehr Ru beliebig klein. Man hat daher für eine ſehr große obere Grenze g.

g g

7.— XZ n= ◻ kan(— X ſe cos kx. dx=—(— 1) F.e xen dx. 6 n= O0 2n 0

So lange man zwiſchen endlichen Grenzen integriert, iſt dieſe Gleichung richtig. Es muß nun gezeigt werden, daß dieſelbe noch gültig iſt, wenn eine Grenze unendlich wird, wenn man alſo bis e anſtatt nur bis g integriert. Dies geſchieht, indem man beweiſt, daß die Integrale bei einer Integration bis g= ſich um weniger als eine vorgegebene Größe« unterſcheiden. Denn würde behauptet, die Integrale beiderſeits unterſchieden ſich um e, wenn man bis w anſtatt nur bis g integriert, ſo läßt ſich zeigen, daß man g ſo groß wählen kann, daß ſich die beiden Seiten um weniger als- unterſcheiden.

Wenn man bis w integriert, ſo iſt das auf der linken Seite Hinzukommende

0

— XEZ P= ſe. cos kx. dx. 8 Dieſes iſt aber offenbar kleiner, als wenn ich cos kx= 1. ſetze, alſo iſt

2— XZ 1 ſe. dx. 8

Man kann hierauf den erſten Mittelwertſatz anwenden, nach welchem, wenn f(X) von X= a bis X= b dasſelbe Zeichen behält, das Integral

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