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gn der convergenten Reihe einen Parameter x, ſo wird bei feſtgehaltenem«, nach der Definition der Convergenz, zwar für jedes einzelne x ein n exiſtieren; es folgt aber hieraus noch nicht, daß ein und dasſelbe n das Gleiche für die unendliche Mannigfaltigkeit von Werten. leiſte, welche in den Grenzen der Convergenz liegen. Auf dieſen Umſtand bezieht ſich die Definition: Eine von X= a bis Xx= ẽ convergente Reihe gi, ge, G3.... heißt in gleichem Grade convergent, wenn bei feſtgehaltenem e dieſelbe Stellenzahl n die Be⸗ dingung der Convergenz gleichzeitig für jedes x innerhalb der Grenzen a und ö erfüllt. Iſt nun s die Summe der zwiſchen endlichen Grenzen x= a und X= oℳ in gleichem Grade convergenten Reihe gi, g2, g3...„ ſo iſt

b b

2 n= ◻ 2 4*= 2 ſse A n= 1

à

d oder in Worten:

Das Integral einer gegebenen unendlichen in gleichem Grade convergierenden Reihe iſt gleich der Summe einer Reihe, deren einzelne Glieder die Integrale der gegebenen ſind.

In unſerem Beiſpiel mag der Einfachheit halber vorerſt h= 1 geſetzt werden. Es wird ſich auch zeigen, daß k reell oder complex ſein kann; im letzteren Fall wird man nur ſtatt der Glieder die Moduln zu nehmen haben. Für die Rechnung wird es aber zunächſt bequemer ſein k als reell anzunehmen. Wenn man nun cos kx in eine unendliche Reihe entwickelt, ſo läßt ſich ſtets ein x angeben, für welches dieſe Reihe convergiert, aber ſie convergiert nicht für alle x. Man kann daher nicht ſofort bis x= HM integrieren, ſondern zunächſt nur bis g, wo g ein ſolcher ſehr großer Wert iſt, daß die Reihe, wenn man n Glieder nimmt, noch in gleichem Grade convergiert.

Da wir hier eine Potenzreihe haben, ſo wiſſen wir, daß ſie in gleichem Grade convergiert, denn eine Potenzreihe convergiert in gleichem Grade für jeden Wert von x, der kleiner iſt als ein Wert X, welcher angebbar unter demjenigen liegt, bis zu dem die Reihe überhaupt conver⸗ giert. Wie man dieſes x= g zu wählen hat, wird ſich weiter unten zeigen. Nimmt man unter den oben gemachten Vorausſetzungen die Entwickelung vor, ſo iſt

8 8 — X2 n=hn— 1 kKan— X ſe. cos kx. dx=(— 1) 38 e xXan dx 0 n= 0 II2n 6 n.— xX2 2n +(— 1) 9,(6x). d2.

IIan 0

Das Reſtglied Ru wird offenbar vergrößert, wenn man darin O= 1 ſetzt und bis X= H anſtatt bis x= g integriert. Es iſt alſo.

6 kan— x 2n Rn= mr ſe XxX dx. 0