Integration eines beſtimmten Integraſs durch Reihenentwicklung.

Wenn ſich ein Integral auf keine der allgemeinen Reduktionsformeln zurückführen läßt, ſo verſucht man das Integral in eine unendliche Reihe zu verwandeln. Wie bei unbeſtimmten Integralen, ſo kann man dieſe unendlichen Reihen auch bei beſtimmten Integralen zur Berechnung der Integralwerte benutzen.

Es läßt ſich jedoch die Formel:

b bö b b

a à àA à. nicht ohne weiteres anwenden, wenn die Reihe in's Unendliche fortgeht. In dieſem Falle iſt es nötig zu zeigen, daß die noch hinzukommenden Glieder den Wert des Integrals nicht mehr ändern können, wie auch die Grenzen beſchaffen ſein mögen. Im folgenden ſoll gezeigt werden, wie man dabei zu verfahren hat, und da noch beſondere Aufmerkſamkeit nötig iſt, wenn die Grenzen des Integrals unendlich werden, ſo ſoll ein Beiſpiel gewählt werden, bei dem eine Grenze unendlich wird.

Es wird aber nicht nötig ſein, zuerſt die Methode zu entwickeln, nach der man hierbei zu verfahren hat, und dann erſt die Rechnung vorzunehmen; es wird vielmehr zweckmäßig ſein, auf die zu befolgenden Grundſätze im Laufe der Rechnung aufmerkſam zu machen. Es wird als

Beiſpiel das Integral 2 — hx2 4 e. cos kx dx 4

gewählt, und es ſoll cos kx in eine unendliche convergente Reihe nach Potenzen von X entwickelt werden.

Soll aber die Integration möglich ſein, ſo muß eine ſolche Reihe nicht nur convergieren, ſondern ſie muß auch in gleichem Grade convergieren. Man ſagt bekanntlich(cfr. Heine, Kugelfunktionen Bd. I Seite 64):

Die unendliche Reihe gi, 82, g3.... heißt nur und immer convergent, wenn der Stellenzeiger n ſo groß genommen werden kann, daß die endliche Summe

gn+ gn 4 1+. X+ gn 4+⸗ immer, d. h. welche poſitive ganze Zahl man auch für ſetzen möge, kleiner als jede vorgegebene Zahl e iſt und auch kleiner bleibt, wenn n noch größer genommen wird. Enthalten die Glieder 1