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bären Fläche der Tangenten der Raumeurve. Da nun aber 2 unendlich nahe Tangenten eine Schmiegungsebene bestimmen, so kann man auch sagen, dass die Diskriminante die Gleichung der abwickelbaren Fläche derSchmie- gungsebenen ist; diese heisst aber, wie man sich leicht überzeugt,

RB KRP-ARK RK X?) Es ist dies dieselbe Gleichung wie die Glei- chung(VII); daher ist die Fläche der Schmie- gungsebenen der Raumturve identisch mit der abwickelbaren Fläche 3. Klasse.

her die Gleichung der Gratlinie der abwickel- baren Fläche 3. Klasse in Ebenencoordinaten., Diese heisst aber

(U, 1,— U, U)?= 4(U, U,— U,2)(U, U,— U3%) also dieselbe Gleichung, wie die Gleichung(8). Es ist somit die Gratlinie der abwickelbaren Fläche 3. Klasse identisch mit der Raumeurve 3. Ordnung.;

Es soll jetzt eine in gewisser Hinsicht mit diesen Entwickelungen in Beziehung stehende

Aufgabe behandelt werden.

Durch einen vermittelst des Parameters gegebenen Punkt der Raumcurve legen wir an alle Punkte derselben Tangentenebenen; es ist die Gleichung der von diesen Tangen- tenebenen eingehüllten Kegelfläche zu suchen.— Diese Aufgabe lässt sich auch so stellen: Eine Grade ist um einen durch e bestimmten Punkt der Raumcurve drehbar und sie bewegt sich längs der Raumeurve hin; hierdurch beschreibt sie eine Kegelfläche, deren Gleichung zu suchen ist.

Sind durch$(X),$5(%), P 3 U. P, die Coor- dinaten eines variablen Punkts der Raunicurve dargestellt und sind die Coordinaten irgend eines Punktes, der mit den Punkten$(%) und 9(e) auf einer Graden liegt, x, Xy X3 X,, SO müssen folgende Bedingungsgleichungen gelten:

9 M=ux+rPle) oder sa r+ 3 NEU X:

re(4* YA, 3 37+ 12) tan+3 PR+ Mur+

v(72+3770+ 3790?+72“ 0%) ts HIER ty M—ux,+

(Ya+ 3730+ 3730+ 73%) ats rt Rt Mur,+

’ M+aNneran terre)

Wenn wir aus diesen Gleichungen die Grössen A, u,» elimiriren, so ist das Elimi-

Durch eine vermittelst des Parameters» gegebene Tangentialebene der abwickelbaren Fläche wird letztere geschnitten; es ist die Gleichung der auf diese Weise entstandenen ebenen Curve in Ebenencoordinaten zu suchen.

Die gegebene Tangentialebene f(p) schnei- det ringsum die Tangentialebenen f(%) der ab- wickelbaren Fläche in graden Linien, welche die ebene Schnittcurve als Tangenten umhüllen; durch diese Tangenten gehen nun die Tan- gentialebenen u, u, u; u, der ebenen Curve. Da nun die Ebenen u, f(%) und f(e) alle durch eine Grade gehen sollen, so haben wir zu- nächst diese Bedingungen:

K)=umtrtß) oder +3 R+3H MR+, NM—uu,+ »(+ 30,70+3 er+t, 0°) 7+3 HIGH N+ NP—uu+ v(+3“pP+3Cy0?+ 9) BU+3 AIG MH NR zuny+ »(3+ 303e+303'0?+ 630°) GIG AIR+ RB zumy+ y(& es 3 OR p+ 3 CY p?+ c 03) Wenn wir aus. diesen Gleichungen die Grössen A, u, v, eliminiren, so ist das Elimi-