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Hat diese Gleichung 2: gleiche‘ Wurzeln, schneidet also die Ebene die Curve in zwei zusammenfallenden Punkten, d. h. wird: sie Tangentenebene, so ist leicht ersichtlich, dass die Diskriminante der cubischen Gleichung(7) die Gleichung der Raumcurve in Ebenencoor- dinaten ist. Diese Diskriminante von(7) ist aber

(U, ,— U, U,=4(U, U,— 0,2)(U, a

Da man die U,als neue nach den Glei- chungen(6) transformirte Ebenencoordinaten ansehen, kann, so stellt uns also Gleichung (8) direkt die Gleichung der Raumeurve dar; sie ist vom 4. Grade; daher die’ Sätze:

Die Raumcurve der 4. Klasse:

Von einer Linie aus lassen sich 4 Tangen- tenebenen an die Raumcurve legen,

3. Ordnung ist eine Curve

Fallen aber alle 3 Schnittpunkte der Ebene u mit der Curve in einen zusammen, hat also die eubische Gleichung 3 gleiche Wurzeln, so ist diese Ebene Schmiegungsebene. Die Glei- chung hat aber nur dann 3 gleiche Wurzeln, wenn sie ein yollständiger Cubus ist oder wenn

Um zu finden, wie ‚viel Schmiegungsebenen sich von einen Punkt aus an die Curve legen lassen, lassen wir die Gleichungen(9) mit der Gleichung eines Punktes x zusammenbestehen, man hat dann ur Hrn) Flo Fr)+ Usa+ Ay)

+W69 ty)=0 ul tr)+uala‘+4)+ uslyz‘+R73) tur+ia)=0 url+Ra) HU; 13"+%7,) tum’+ryN)=o

uU FR try FW,= 0

Hat diese Gleichung 2 gleiche Wurzeln, so können also von dem Punkt aus zwei zusammen- fallende Tangentenebenen gelegt werden. Dies ist aber nur möglich, wenn der Punkt x auf dem Schnitt zweier unendlich naher oder un-

endlich wenig verschiedener Tangentenebenen liegt, d. h. wenn er Punkt der abwickelbaren Fläche selbst ist. Es ist: daher: die Diskrimi- nante der Gleichung(VII). die Bedingung dafür, dass der Punkt x auf der Fläche liegt oder sie ist die Gleichung der Fläche in Punkteoordi- naten; sie heisst: KR— X, X)?=4(X, X— X3°) (VL)

Da man die X als neue dad den Glei- chungen(VI) transformirte Püunkteoordinaten ansehen kann, so stellt uns also Gleichung(VIII) direkt die Gleichung der Fläche in Punkteoor-

dinaten dar; sie ist vom 4.Grade; daher die Sätze:

x”) Krk

Die abwickelbare Fläche 3. Klasse ist eine Fläche 4. Ordnung.

Von einer Linie wird die abwickelbare Fläche in 4 Punkten geschnitten.

» Fallen nun alle vom Punkte x. aus gelegte Tangentenebenen zusammen, hat also die cu- bische Gleichung 3 gleiche Wurzeln, so ist dieser. Punkt natürlich ein Punkt der Fläche und hat die Eigenschaft, dass er auf 3 unendlich nahen Tangentenebenen liegt, Die Gleichung hat aber nur dann 3 gleiche Wurzeln, wenn..

DRANG| KRtıX,=o)}.(IX) ern

Um zu finden, wie viel solcher Punkte auf einer Schnittebene liegen, lassen wir die Gleichungen(IX) mit der Gleichung einer Ebene u zusammenbestehen; man hat dann:

x,(6,+re,)+x(2+”)+ 3(op>25 4") +2c,)+ ABK+69)+ Xy(&y”+%cz) +"+ia/)=0 xl+AC)+x2(%‘ HR)+Xy(Cy‘+95) +(47+20)=o KU FB try rn y—=O

x(c,“