b)

4. Ist R<1, so sind alle 3 Wurzeln reell, d. h. die Curve hat mit der unendlich weiten Ebene 3 verschiedene Punkte gemein und sie wird cubische Hyperbel genannt.

Die Diskriminante der auf der andern Seite stehenden cubischen Gleichung ist:

P=(cy‘ Gy“—Q 4)8 rl(& GG a 42)(% pe a 2) I. Ist nun P<1, so hat die eubische Gleichung 3 reelle Wurzeln; es hat somit in diesem Fall die abwickelbare Fläche eine solche Form, dass vom MEeDINDE der Coordinaten 5 verschie-

dene Tangentenebenen an sie gelegt werden können.

H. Ist P>1, so ist nur eine reelle Wurzel neben zwei imaginären vorhanden; vom Coor- dinatenanfang kann also nur eine Tangentenebene an die Fläche gelegt werden.

II. Wenn P=o, so kann man, da die cubische Gleichung 2 gleiche Wurzeln hat, vom Anfangspunkt nur 2 Tangentialebenen legen, von welchen die eine die Fläche doppelt berührt.

IV. Wenn ausser P=o auch noch 7} u 4 2.646 G?=c%'%“ und somit auch

‘ Un 444 EM

so hat die eubische Gleichung 3 gleiche. Wurzeln; es lässt sich daher an die Fläche, die den

aufgestellten Bedingungen genügt, rührung hat.

Gewöhnlich wird die Raumcurve definirt als die Schnitteurve zweier Hyperboloide mit einer Mantelfläche. Dies ist jedoch im Grunde dasselbe, was wir oben sagten; eliminiren wir ‘nämlich aus den Gleichungen(1) den Faktor A, so kommt:

ad—be=o0

af be=o0

welche Gleichungen 2 Hyperboloide darstellen und in ihrem Zusammenbestehen die Schnitt- curve repräsentiren. Im Allgemeinen schnei- den sich aber 2 Flächen 2. Ordnung in einer Curve 4. Ordnung; diese zerfällt aber in unserm Fall in eine Raumeruve 3. Ordnung und in eine Graddkeka=o,b=0.

Betrachten wir nunmehr wieder die cubische Gleichung(5). Setzen wir

un tun+73 Tun=U uy tu+ tu=U(6) u trmn+ tun“=U;| vun" tun”= U

so kann Gleichung(5) geschrieben werden U,+3, r+3 U,+ 9%=0....(

nur eine Tangentenebene legen, die aber eine dreifache Be-

Unsere abwickelbare Fläche kann man definiren, als die Fläche der gemeinsamen Tangentenebenen zweier Hyperboloide mit einer Mantelfläche. Eliminiren wir nämlich aus den Gleichungen(l) den Faktor%, so kommt:

AD-BC=

Ar BE Ed welche Gleichungen 2 Hyperboloide darstellen und in ihrem Zusammenbestehen die Fläche der gemeinsamen Tangentialebenen repräsen- tiren. Nun ist aber diese Fläche bei Flächen 2. Klasse von der 4. Klasse; sie zerfällt aber hier in eine Fläche 3. Klasse und in eine grade Linie:A=0,B= 0.

Gehen wir nunmehr wieder zur@ubischen Gleichung(V). Wird hierin gesetzt; GAR+ u Fa ut, ruht" ta! u= x.

INT YUytrta nt gu ta y= a) Hy+9,+ Bu+rG mL,

so kann Gleichung(V) geschrieben werden 2