8

Die Gleichungen(3) und(III) kann man auch homogen machen dadurch, dass man setzt

r e für X; es entsteht auf diese Weise:

vs—yud+ 3y/u+3 ur?+ mr 2(4) wma u3+3C"uR+I3c/ur?+c9?.(IV)

Um die Ordnung der Curve zu finden, d.h. Um die ‚Klasse der Fläche zu finden, d. h. die Anzahl der. Schnittpunkte derselben mit. die Anzahl der Tangentialebenen, die von einer Ebene, multiplizirt man die Gleichungen einem Punkt aus an-sie gezogen werden kön- (3), die 1. mit u,, die 2. mit u,, die 3. mit u, nen, multiplizirt man die Gleichungen(II), die u. 5. f. und addirt sie, so erhält man unter 1. mit x, die 2. mit x,, u. s. f. und addirt sie, der Voraussetzung, dass; so erhält man unter der Voraussetzung dass

UN+TWR+, SB+ WW N,=O WYFrWR+ BU NO die Gleichung der bewussten Ebene ist, diese die Gleichung des bewussten Punktes ist, diese Gleichung zur Auffindung der Schnittpunkte: Gleichung zur Auffindung der Tangentenebenen: yntrmatWwy+ Un) Kurt" tn) + sky tur+ Uug73°+ 77‘)+3 FR FR HR“) +3+++)+3+n@ tt) A

+(yn”+WwY” tu+7 A=0. 0)++++4)=0..(V) eine cubische Gleichung, durch deren 3 Wurzeln die Schnittpunkte, resp. die Tangentenebenen bestimmt sind; es folgt daraus:

Unsere Raumcurve ist von der 3. Ord- Unsere abwickelbare Fläche ist von der 3. nung. Klasse.

Um den Schnitt dieser Curve mit der Ebene Um die Tangentialebenen zu finden, die im Unendlichen zu finden, setzen. wir nur sich vom Anfang der Coordinaton aus legen X 00n, lassen, setzen wir u= 0, d.h.

Yrıyıı+3 nr+ mn” P=o Go rtsg A+ISg FG ee)

Die Eigenschaften. der Wurzeln dieser letzten Gleichung geben uns die Mittel zur Classi- fieirung der Raumcurve, resp. der abwickelbaren Fläche.

Die Diskriminante der cubischen Gleichung ist nämlich: i

Ren TINTE NN.

1. Ist nun R= o, so hat die cubische Gleichung 2 gleiche reelle Wurzeln, d. h. von den 3 Schnittpunkten der unendlich fernen Ebene mit der Raumcurve fallen 2 zusammen. In diesem Falle nennt man die Curve eine cubisch-hyperbolische Parabel.

2. Wenn nicht allein R= 0, sondern auch

a DL 972°= 747,“ und demnach auch Ya’ Yr= Ya Vase so hat die eubische Gleichung 3 gleiche Wurzeln, d.h, die 3 Schnittpunkte der unendlich fernen Ebene eoineidiren alle. In diesem Falle ist die Ebene Schmiegungsebene oder Oskulationsebene; die Curve ist eine cubische Parabel.

“4

3. Wenn R>1, so hat die Gleichung eine reelle und zwei imaginäre Wurzeln, d. h. die Curve trifft nur einen einzigen Punkt der unendlich fernen Ebene und sie heisst cubische Ellipse.