scher Unterrichtsgegenstand die analytische Geometrie vorgesehen. Sehen wir nun vorerst zu, worin der Unterschied der analytischen und der neueren oder organischen Geometrie besteht, indem wir nachlesen, was Gretschel in seinem kürzlich erschienenen„Lehrbuch zur Einführung in die organische Geometrie“ hierüber sagt:„In der Nachweisung des Zusammenhangs zwischen den verschiedenen Raumgebilden und ihren Eigenschaften und in der dadurch herbeigeführten Anschaulichkeit der ganzen Untersuchung liegt ein wesentlicher Vorzug der, organischen Geo- metrie vor der analytischen Geometrie, welche man seit Descartes geraume Zeit hindurch fast ausschliesslich zur Auffindung geometrischer Wahrheiten angewandt hat. Da nämlich bei der letzteren der Fortschritt von einem Satze zum anderen auf rein arithmetischem Wege erfolgt, und da die geometrischen Wahrheiten als blosse Deutungen, als Versinnlichungen arithmetischer Formeln erscheinen, so entgeht der geometrische Zusammenhang zwischen den einzelnen Sätzen nur allzu leicht der Aufmerksamkeit des Analysten. Auf der andern Seite liegt aber grade in dieser Anwendung der Arithmetik mit ihren allseitig ausgebildeten Begriffen und ihren verfeinerten Operationen ein grosser Vorzug vor der Geometrie der Alten, es ist dieses die Allgemeinheit, welche allen Untersuchungen der analytischen Geometrie eigen ist. Unter einer einzigen For- mel werden alle Fülle, die bei einem Satze je nach der Lage der einzelnen Theile der Figur zu unterscheiden sind, umfasst, während gar häufig bei den Untersuchungen nach der Methode der Alten soviel besondere Betrachtungen und Beweise nöthig sind, als verschiedene Lagen der Figur existiren. Diesem Mangel wird indessen abgeholfen durch eine zuerst von Möbius mit Conse- quenz angewandte und unter dem Namen„Prineip der Vorzeichen“ oder„Regel der Zeichen“ bekannte Methode. Indem die organische Geometrie sich diese Methode zu eigen macht, wird es ihr möglich, bei ihren Untersuchungen die Allgemeinheit der analytischen Geometrie zu ver- einigen mit der Anschaulichkeit der Geometrie der Alten.“ Was weiter die Aufgabe der orga- nischen Geometrie betrifft, so sagt derselbe Verfasser:„Die organische Geometrie hat diejenigen räumlichen Elementargebilde nachzuweisen und genauer zu untersuchen, durch deren mannig- fache Verbindungen die verschiedenen geometrischen Gebilde, krumme Linien und Flächen ent- ‘ stehen. Sie hat dann darzuthun, wie die letzteren Gebilde durch jene Elemente erzeugt werden und dabei gleichzeitig zu zeigen, wie die Eigenschaften der erzeugenden Elemente auch auf das erzeugte Gebilde übergehen. Auf diese Weise gelingt es, um mit den Worten Steiners zu reden, für die mannigfachen Eigenthümlichkeiten räumlicher Gebilde, welche die Mathematiker älterer und neuerer Zeit in reicher Fülle und durch die verschiedensten Methoden entwickelt haben, die gemeinsame Wurzel aufzufinden und den Organismus aufzudecken, durch welchen die verschiedenartigsten Erscheinungen der Raumwelt mit einander verknüpft sind.“

Aus den eben citirten Stellen lässt sich schon erkennen, mit wie viel grösserer Berechtigung die neuere Geometrie auf der Lehrstofftabelle der Prima auftreten könne als die analytische Geometrie; ja man ist versucht, die Behauptung aufzustellen, dass die analytische Geometrie in dem Unterrichtsplan der neueren Geometrie das Feld räumen müsse, Jene gehört eben in ihrer modernen Form gar nicht in das Gebiet der elementaren Mathematik; macht sie ja in Verbin- dung mit der Differential- und Integralrechnung die Fundamente der höheren Mathematik aus oder wie ein Meister(Clebsch) sagt, ist sie ja als der Körper, die Differential- und Integral- rechnung als der Geist der Mathematik zu betrachten. Dass bis jezt jedenfalls äusserst wenige Versuche gemacht sind, die neuere Geometrie als Unterrichtsgegenstand einzuführen, mag in