1. Der Endwert E einer r Schlußrente(Rente am Jahresſchluß) ch 1 20⸗ 07 1, der Endwert E“ einer Anfangsrente(Rente am Jahresanfang) T 1 07 Bei der

Herleitung der E⸗Formel arbeite man nicht mit der gernerrichm eherden ſondern mit der aus

der Buchſtabenrechnung bekannten Formel 2“1.. † ½+ 1=(2“*— 1):(2— 1). EF⸗Gruppe Heis 53. 63. Bardey I*) 481. 48. 48. 49. bis 54. 60. 69. Bardey II**) 48. 49. 36. 57. 58. 59.

§ 2. Der Endwert E hatte vor a Jahren den Wert E: 1, 0„* Dieſe Größe ſtellt den

Anfangswert A einer Schlußrente dar und beträgt⸗ 1,91 Für eine Anfangsrente 0,0, 1,07, 1,052—

iſt der Anfangswert= E“: 1,05 2= 7. 1, 0 9( 1. A⸗Gruppel Heis 54.

0, 05. 56 bis 61. 65. Bardey l 55 bis 59. 64. 65. 66. 68. 70 bis 80. Bardey II 64 bis 69. 71 bis 74. 76. 80. 81. 82. § 3. Das Produkt Rente mal Jahre heißt der Mittelwert M einer Rente. Aus A₰ wird in u Jahren M, aus M in» Jahren Z, wobei u+† v= n. Aus den Exponentialgleichungen

A. 1,05*= M, M. 1,05= E kann der mittlere Zahlungstermin berechnet werden. M⸗Gruppel Heis 62. Bardey 1 81. 811. 82.

§ 4. Eine große Rente mit kurzer Dauer kann in eine kleine Rente mit langer Dauer ver⸗ wandelt werden und umgekehrt. Dieſer Prozeß heißt Rentenverwandlung. Die Anfangs⸗ werte beider Renten ſind gleich zu ſetzen, was ſymboliſch durch M= A ausgedrückt werden ſoll. Gruppe 4= A! Heis 66. Bardey l 87 bis 94. Bardey II 75. 78.

§ 5. Durch eine Miſe wird in m Jahren erſt das Vermögen Cerſpart und dann durch eine Rente in n Jahren wieder aufgezehrt. Der Anfangswert A der Rente muß dem Ver⸗ mögen(Endkapital) G gleich ſein, ſo daß C= A oder C= A“ iſt. Erſtes Sparproblem! Gruppe(= 4! Bardey I 841. 842. 851. Bardey II 85.

§ 6. Durch eine Rente⸗ wird in m Jahren erſt der Endwert E oder E“ erſpart und dann durch eine zweite Rente s in z Jahren wieder aufgezehrt. Hier iſt der Anfangswert A der Verbrauchsrente§ dem Endwert E der Erſparungsrente gleich, alſo E= A oder E= A“ oder 5= 4 oder E—= 4.. Zweſtes Sparproblem! Gruppe E= A! Heis 64. Bardey I 83. 84. 85. 86. 861.

§ 7. Miſe zund Rentel Eine Miſe« ſteht 2 Jahre lang auf Zinſeszins. Während dieſer Zeit wird jährlich die Rente ⸗hinzugefügt. Nach n Jahren hat die Miſe den Wert(, die Rente den Endwert E oder E“ erreicht und das geſamte Vermögen beträgt C+ E oder C+ E. Gruppe C+ E! Heis 483. 52. 55. Bardey l 43. 44. 45. 487. 483. 61. 62. 671. 801. 802². Bardey II 41. 42. 43. 46. 47. 53. 54. 60. 61. 79. 83.

§ 8. Eine Miſe« ſteht/ Jahre lang auf Zinſeszins. Jährlich wird die Rente weg⸗ genommen. Nach n Jahren beträgt das Geſamtvermögen C— E oder C— E!. Drei Fälle ſind hier zu unterſcheiden. Die Rente⸗ kann ſein 1) kleiner, 2) gleich, 3) größer als der jährliche Zins der Miſe c und es wird im erſten Fall C— E=c, im zweiten C— E=c, im dritten 6— E=. Wird im dritten Fall C— E null, ſo hat man wieder die A⸗Formel. Gruppe C— El Heis 482. 49. 50. 51. 55. Bardey l 46. 47. 48. 482. 483. 485. 486. 57. 58. 59. 63. 67. 671. 801. Bardey II 44. 45. 50. 51. 52. 53. 55. 66. 70. 77 83.

§ 9. Durch eine Miſe« und eine Rente⸗ wird erſt ein Vermögen+ K erſpart und dann durch eine zweite Rente wieder aufgezehrt. Drittes Sparproblem! Gruppe C+ E. = A! Bardey l 862. 863. 864. Bardey II 84.

§ 10. Zuſammenſtellung der neun Gruppen. 1) E. 2) A. 3) M. 4) A= A. 5) G= 1. 6)= 1. 7) CX f. 8) C— E. 9) ☛ 4= 4.

*) Aufgabenſammlung 1889.**) Arithmetiſche Aufgaben 1888.