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Löſung eine eingehende Beſprechung nötig machen, die darin beſteht, daß der Lehrer durch geeignete Fragen die Schüler zu einem klaren Berſtändnis aller in der Aufgabe enthaltenen wichtigeren Be⸗ ziehungen hinleitet.

2. Planimetrie. 2 St. Nach Spitz.

a) Jahrespenſum. Berechnung der geradlinigen Figuren. Proportionalität der Linien. Aehnlichkeit der Dreiecke und Vielecke. Eigenſchaften, welche ſich für die ebenen Figuren aus den vorhergehenden Sätzen ergeben und Anwendung dieſer Sätze. Der Kreis in Verbindung mit den ein⸗ und umgeſchriebenen Vielecken. Kreisberechnung. Aufgaben.

b) Methode. Zu Dreicks⸗Conſtructionen kommen jetzt auch algebraiſche Aufgaben beſonders über das Dreieck und Viereck und ſpäter Kreisberechnungen.

Von Einzelheiten, die allenfalls zu beſprechen wären, hier aber zu weit führen möchten, blos eine Bemerkung über die Berechnung der Peripherie des Kreiſes.

Nach dem Satze:„Die Umfänge ähnlicher Vielecke verhalten ſich, wie zwei homologe Seiten und auch wie zwei homologe Diagonalen“ läßt ſich die Formel für die Berechnung des Kreisumfanges P= 2rza dadurch finden, daß man den Kreis als ein reguläres Polygon und Kreiſe überhaupt als ähnliche Figuren betrachtet. Sind nun r und r die Radien zweier Kreiſe, ſo verhalten ſich ihre Umfänge P und Pn wie ihre Durchmeſſer, alſo P: P.= 2r: 2r, oder a= Demnach hat dieſer Quotient für alle Kreiſe eine und dieſelbe Größe. Bezeichnet man letztere mit a, ſo ergibt ſich aus 1.= die Formel P= 21r x. Gegen dieſe an ſich ganz richtige Beweisführung iſt einzuwenden, daß ſie in dieſer abſtracten Form dem Anſchauungsvermögen des Schülers in keiner Weiſe zu Hilfe kommt. Dagegen werden die Schüler mehr befriedigt durch ein genetiſches Ver⸗ fahren, welches darin beſteht, daß der Lehrer mit den Schülern den von der Wiſſenſchaft urſprünglich eingeſchlagenen Weg eine Strecke weit wirklich verfolgt. Zu dem Ende werden die beiden Formeln, nach denen man einesteils aus der Seite des eingeſchriebenen regulären necks die Seite des 2y ecks und andernteils aus der Seite des eingeſchriebenen necks die des umgeſchriebenen necks findet, benutzt. Ausgegangen wird von der Seite des eingeſchriebenen regulären Sechsecks(= dem Radius). Man findet der Reihe nach die Seiten, mithin auch die Umfänge der eingeſchriebenen regulären 12⸗, 24⸗, 48⸗ u. ſ. w. ecke und daraus wieder beziehlich die Umfänge der umgeſchriebenen Vielecke. Für die Umfänge der beiderlei 24 ecke ſtimmen die Reſultate in den zwei erſten Decimalen nahezu überein. Fügt dann der Lehrer hinzu, daß bei einem durch Verdoppelung der Seitenzahl fortgeſetzten Ver⸗ fahren für das 1536 eck dieſe Uebereinſtimmung in 5 Decimalen beſtehe, ſo leuchtet den Schülern ein, daß das gefundene Reſultat auch auf die zwiſchen den Umfängen der beiderlei Vielecke liegende Kreislinie zu übertragen ſei. Setzt man nun den zweiten Factor des durch 2. 3,14159... aus⸗ gedrückten Reſnltates= n, ſo erhält man für den Kreisumfang die Form P= 27 und; wenn r nicht= 1 geſetzt iſt, allgemein P= 2 r x.