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b) Methode. In der Algebra unterſcheidet man zwiſchen arithmetiſchen und geometriſchen Verhältniſſen. Erſtere kommen hier nicht in Betracht, weshalb man bei letzteren der Kürze halber gewöhnlich das Adjektiv wegläßt. Unter dieſer Vorausſetzung verſteht man unter einem Verhältnis einen Quotienten, welcher angibt, wie ſich zwei Größen hinſichtlich der Menge der in ihnen vor⸗ kommenden gleichartigen Einheiten zu einander verhalten. Beiſpiel 1 Fr= 4.20 ₰, 1 ℳ= 5.20 ₰; alſo verhält ſich ein Frank zu einer Mark wie 4:5. Aus der Definition ergiebt ſich, daß der Begriff Verhältnis dem vom Quotienten untergeordnet iſt und, da dieſer nach dem Früheren ſich wieder dem Begriffe Bruch unterordnet, daß alle drei Begriffe im Verhältniſſe der Unter⸗ und Ueberordnung zu einander ſtehen. Was alſo vom Bruche gilt, muß auch vom Quotienten, und was von dieſem gilt, auch wieder vom Verhältniſſe gelten. Demnach kann man einen Quotienten ſtets auch in Bruchform, einen Bruch aber nur in der Auffaſſung als Teil eines oder mehrerer Ganzen in Quotientenform ſchreiben. Für den Quotienten und das Verhältnis gebraucht man den Doppel⸗ punkt, überſetzt dieſen aber den entſprechenden Verben gemäß in dem einen Falle mit der Präpoſition „durch“, in dem andern mit„zu“. Die Sätze über die Verhältniſſe ſind auf die ihnen entſprechenden der Bruchlehre zurückzuführen. Bei der Proportion, der Zuſammenſtellung zweier durch das Gleich⸗ heitszeichen verbundenen gleichen Verhältniſſe(Verhältnisgleichung) empfiehlt es ſich, den Begriff Verhältnis feſtzuhalten und demgemäß die wenigen Sätze über die Proportionen zu beweiſen.
Gewöhnlich werden die Proportionen ſchon vor der Potenzlehre abgehandelt. Da ſie jedoch erſt bei der Berechnung geradliniger Figuren und der Aehnlichkeit derſelben Anwendung finden, ſo thut man wohl, ſie dieſen Kapiteln der Planimetrie in IIIa unmittelbar vorauszuſchicken.
Nach Durchnahme der Formeln über die Wurzeln iſt zu zeigen, daß die für Potenzen und Wurzeln mit ganzen Exponenten bewieſenen Sätze auch für Potenzen und Wurzeln mit gebrochenen Exponenten gelten.
Die Betrachtung der imaginären Größen gibt Veranlaſſung zu der Einteilung der Zahlen in reelle und imaginäre und erſterer in rationale und irrationale.
Die Formel an= p für das Potenziren ſchließt zwei andere Rechnungsarten ein, das Ra⸗ diciren und Logarithmiren, je nachdem a oder m beziehlich aus p und m oder aus p und a geſucht werden. Es kommen alſo dieſe drei Größen in jeder der drei Rechnungsarten vor, bei denen aber jede dieſer Größen einen beſonderen Namen führt. Durch eine Zuſammenſtellung der Formeln für die drei Rechnungsarten iſt dies zu veranſchaulichen.
In den Vorübungen zu den Logarithmen hat man die Abhängigkeit der Kennziffer eines Lo⸗ garithmus von dem zugehörigen Numerus zu zeigen. Man läßt von den Schülern zunächſt die Logarithmen der ganzen Potenzen von 10 angeben. Daß der Logarithmus einer Zahl, welche zwiſchen zwei unmittelbar aufeinander folgenden Potenzen von 10 liegt, auch zwiſchen den Logarithmen dieſer Potenzen liegen muß, leuchtet den Schülern ſofort ein. Die dabei erhaltenen negativen Lo⸗ garithmen ſind ſo umzuformen, daß die Mantiſſe poſitiv und die Kennziffer allein negativ wird. Zur Veranſchaulichung diene umſtehendes Tabellchen.