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als Null ſind, nennt man negative Zahlen und die, welche größer als Null ſind, poſitive Zahlen. Erſtere verſieht man bei dem Schreiben mit dem Plus⸗, letztere mit dem Minuszeichen. Dieſe beiden Zeichen dürfen als Vorzeichen entgegengeſetzter Größen nicht mit den ihnen entſprechenden Vorzeichen der Addition und Subtraction verwechſelt werden.
Die vervollſtändigte Zahlenreihe iſt nun....— 3,— 2,— 1,0,+ 1,+ 2,+ 3,..
Die bei jeder der vier Species mit poſitiven und negativen Zahlen vorkommenden 4 Fälle ſind zunächſt an Zahlenbeiſpielen zu unterſuchen, woraus ſich für das Rechnen mit entgegengeſetzten Grö⸗ ßen beſtimmte praktiſche Regeln ergeben.
Daß die für Potenzen mit ganzen poſitiven Exponenten geltenden 5 Hauptſätze auch für die mit 0 und negative Zahlen gelten, iſt beſonders zu beweiſen.
Das Ausziehen der Quadrat- und Kubikwurzel ſchließt man am beſten gleich der Potenzirung von Summen und Differenzen an, wobei man in dem einen Falle von der Formel für das Quadrat der Summe, in dem anderen Falle von der für den Kubus der Summe zweier Zahlen ausgeht.
Eine Summe aus zwei einzifferigen Zahlen wird mit 2 potenzirt. Der Schüler findet: Wächſt die urſprüngliche Zahl a um die Zahl b, ſo wächſt das Quadrat von a um zwei Produkte, nämlich um 2ab und b. Die Summe wird nun mit Weglaſſung des Pluszeichens potenzirt, ſo daß alſo die a Einer zu Zehnern werden. Man erhält wieder die vorigen Produkte, abgeſehen von den Nullen am Ende der zwei erſten Produkte, wo dann jedes folgende Produkt um eine Stelle nach rechts gerückt erſcheint. Die beiden letzten Stellen der Potenz rühren von dem Zuwachs b her. Hierauf hängt man den zwei Ziffern eine dritte an und potenzirt die entſtandene dreizifferige Zahl mit 2, wobei man die zwei erſten Ziffern als au, die dritte als ba unterſcheidet, übrigens aber wie vorher verfährt. Auch jetzt zeigt ſich wieder, daß bei dem Potenziren das Quadrat von a, um die beiden Produkte 2arbi und bi² wächſt und daß nach Weglaſſung der Endnullen jedes folgende Produkt um eine Stelle nach rechts rückt. Die beiden letzten Ziffern der Potenz rühren von der letzten Ziffer der Grundzahl, die zwei vorhergehenden von ihrer vorletzten her. Zur Erläuterung des ſchriftlichen Verfahrens diene folgendes Beiſpiel.
49= a2 49 00= a* 49 0000 (7+ 4)²=[56= 2ab 74 ²= 56 0= 2ab 56 000= a12 16= b² 16= b:* 7432= 16 00 121— 55— 444 0= 2a b = 121.= 547 6. 9= b. 1 1 = 55204 9.
Durch das Potenziren wird aus der Grundzahl und dem Exponenten die Potenz gefunden. Sind Potenz und Exponent gegeben, ſo findet man die Grundzahl durch das Radiciren. Hierbei führen die Ausdrücke Potenz, Exponent und Grundzahl beziehentlich die Namen Radicand, Wurzel⸗ exponent und Wurzel. Aus einer Zahl die Quadratwurzel ausziehen heißt, eine Zahl finden, die, mit 2 potenzirt, den Radicanden gibt. Da dieſer die Summe der bei dem Potenziren entſtehenden Produkte iſt, ſo wird man bei dem Radiciren die Wurzel dadurch finden, daß man in gleicher Weiſe wie vorher die einzelnen Produkte bildet, dieſelben aber nicht addirt, ſondern nacheinander ſub⸗ trahirt. Man wird alſo zunächſt die zu radicirende ganze Zahl von rechts nach links in zwei⸗