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die kleinen lateiniſchen Buchſtaben als allgemeine Zahlzeichen aufzufaſſen, d. h. als Zeichen, unter denen ſie ſich jede beliebige Zahl zu denken haben mit der Beſchränkung, daß bei 2 oder mehreren in einer Rechnung vorkommenden Buchſtaben dieſe von einander verſchiedene Zahlen bezeichnen. Sodann ſollen dieſe Uebungen namentlich dazu dienen, die Schüler in der Auffaſſung der engen Beziehung, in welcher die bei den entgegengeſetzten Rechnungsarten vorkommenden Begriffe zu ein⸗ ander ſtehen, zu befeſtigen. Die Sätze über Summen und Differenzen, Produkte und Quotienten ſind weſentlich nur eine Verallgemeinerung der im Rechnen mit ganzen Zahlen und Brüchen vorge⸗ kommenen Sätze.

Um den Schülern eine richtige Vorſtellung von der Null und von den negativen Zahlen, welche hier in der Buchſtabenrechnung zuerſt auftreten, beizubringen, geht man von der Beziehung aus, in welcher Addition und Subtraction zu einander ſtehen, Iſt p—†.˖= s, ſo iſt s— p= q. Man erhält nur ein Reſultat, wenn bei der Differenz s—p vorausgeſetzt iſt, daß pund q der natürlichen Zahlenreihe angehören. Setzt man aber für s und p beliebige Zahlenwerte, ſo findet man, daß 3 Fälle zu unterſcheiden ſind, je nachdem s größer, ebenſo groß, oder kleiner als p iſt. Nur in dem erſten Falle iſt die Auflöſung in dem bisherigen Sinne möglich. Sollen die beiden anderen Fälle eine Bedeutung erhalten, ſo bedarf es einer Erweiterung des Zahlenbegriffes.

Iſt s= p, ſo verſchwindet s, wenn man p Einheiten davon wegnimmt. Das Reſultat wird durch 0(Null) bezeichnet. Dieſe iſt alſo die Differenz zwiſchen 2 gleichen Zahlen. Da die Null das Vorhandenſein der der Rechnung zu Grunde liegenden Einheit verneint, alſo eine ganz beſtimmte Beziehung zu ihr hat, ſo erhält ſie ihre Stellung vor der 1.

Iſt sp, ſo bleiben, wenn man von s aus ſo lange rückwärts zählt, bis alle vorhandene Einheiten weggenommen ſind, noch ſo viele Einheiten zum Wegnehmen übrig, als p deren mehr enthält als s, mithin p— s. Ein ſolches Wegnehmen iſt nun freilich nach dem Bisherigen nicht möglich. Wohl aber bekommt die Aufgabe einen Sinn, wenn ſich zeigen läßt, daß auch Zahlen denkbar ſind, welche unterhalb der Null liegen, alſo kleiner als Null ſind. Daß wirklich ſolche Zahlen gedacht werden können, kann der Lehrer etwa dadurch zeigen, daß er von einer Stelle des Zimmers aus in der Richtung nach dem Fenſter s Schritte vorwärts und darnach wieder über den Ausgangspunkt hinaus bis zur Thür p Schritte rückwärts geht. Da in dieſem Falle sp iſt, ſo befindet ſich der Lehrer nun an einem Orte, welcher vom Ausgangspunkte nach der entgegengeſetzten Richtung hin um p—s Schritte entfernt liegt. Denkt man ſich nun die natürlichen Zahlen durch eine Reihe von Punkten dargeſtellt, welche in gerader Linie liegen und gleichweit von einander entfernt ſind, ſo ent⸗ ſprechen die Abſtände der Punkte vom Anfangspunkte Null den einzelnen Zahlen, und ſetzt man dann die Punktreihe in gleicher Weiſe auch nach der entgegengeſetzten Richtung vom Anfangspunkte aus fort, ſo zeigt ſich, daß man bei dem Rückwärtszählen noch über die Null hinaus gehen kann. Andere Beiſpiele zu der ſich unterhalb Null fortſetzenden Zahlenreihe liefern die beiderlei Temperaturgrade der Thermometerſkala, Drehung eines Winkelſchenkels und eines Uhrzeigers nach rechts und nach links, nördliche und ſüdliche Breite, die Zeit vor und nach Chriſti Geburt. Die Null liegt in allen dieſen Fällen zwiſchen zwei einander entgegengeſetzten Zahlenreihen. Solche Zahlen, welche kleiner