— 5.—

ſich dieſe gegenſeitige Beziehung von Bruch und Quotient dauernd in das Bewußtſein des Schülers einpflanzt, iſt es nötig, daß dieſer auch auf den ſpäteren Unterrichtsſtufen recht oft veranlaßt wird, die der Bruchlehre entlehnten Sätze im Sinne des Quotienten und umgekehrt, dieſen im Sinne des Bruches auszudrücken. Bei der ſchriftlichen Darſtellung des Quotienten erſetzt der Doppelpunkt den Bruchſtrich und umgekehrt. Damit iſt die gegenſeitige Stellung des Diviſors und Dividenden genau beſtimmt. Gleichwie man bei dem Leſen und Schreiben eines Bruches erſt den Zähler und dann den Nenner angiebt, ebenſo iſt auch bei dem Quotienten der Dividend dem Diviſor vorzuſetzen. Den Diviſor vor den Dividenden zu ſchreiben und beide durch einen vertikalen Strich zu trennen, wie man das mitunter ſelbſt noch in manchen unſerer gebräuchlichſten mathematiſchen Lehrbücher findet, iſt durchaus zu mißbilligen.

Von den Vorübungen zu der Bruchrechnung ſind beſonders hervorzuheben die beiden Form⸗ veränderungen der Brüche, das Erweitern und das Heben derſelben. An einigen durch begrenzte gerade Linien dargeſtellten Brüchen zeigt man, daß durch weitere Teilung der weggenommenen Teile in gleichviele Teile der Wert des Bruches unverändert bleibt, daß alſo z. B. 8= 4 ¾ ſind und umge⸗ kehrt. Mit dieſer Veranſchaulichung an Strichen iſt eine dem Weſen des Bruches entſprechende Beweisführung zu verbinden, welche im vorliegenden Falle etwa lauten würde:

Wird der Zähler 3 mit 4 multiplicirt, ſo wird derſelbe 4 mal ſo groß, der weggenommenen Teile werden 4mal ſo viele, die Teile an ſich bleiben unverändert; mithin hat der ſo entſtandene Bruch ¹* einen 4mal ſo großen Wert, als 3¾. Wird blos der Nenner 5 mit 4 multipplicirt, ſo wird derſelbe 4mal ſo groß, der Teile, in welche das Ganze geteilt iſt, werden 4mal ſo viele, die Teile an ſich werden 4mal ſo klein; mithin hat der Bruch aF einen 4mal ſo kleinen Wert, als 3. Da nun durch die Multiplication des Zählers der Wert des Bruches erſt 4mal ſo groß, dann aber durch die Multiplication des Nenners 4mal ſo klein gemacht wurde, ſo heben ſich beide Operationen gegenſeitig auf. Es iſt alſo ½= ½.

In ähnlicher Weiſe iſt der Beweis auch bei dem Heben der Brüche zu führen.

Addition und Subtraction der Brüche bieten nichts ſonderlich Bemerkenswertes. Dagegen er⸗ fordern die Multiplication und Diviſion eine recht eingehende Behandlung. Jeder von den bei der Mul⸗ tiplication vorkommenden 7 Fällen iſt beſonders zu beweiſen. Wie dies zu geſchehen hat, ſei an einem Beiſpiele gezeigt.

3.3=—.

1. Bew. ¾ mit 4 multiplicirt, gibt ½; ¾ ſoll aber nicht mit 4, ſondern mit ¼ multiplicirt werden, alſo hat man mit einer 5mal zu großen Zahl multiplicirt(4= 2%= 5. ½), und das Produkt iſt deshalb 5mal zu groß geworden. Um das richtige Produkt zu erhalten, hat man den 5. Teil von§ zu nehmen. Der 5. Teil von z iſt uz, von alſo. Demnach iſt 3. ¼= P.

2. Bew. ¾ mit 1 multpplicirt, gibt ½; ¾ mit;, alſo einer 5mal ſo kleinen Zahl multiplicirt, gibt ein 5 mal ſo kleines Produkt, nämlich; 3 ſfoll aber nicht mit ½⅞, ſondern mit;p¹h multiplicirt werden, weshalb* mit 4 zu multipliciren iſt, gibt.