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was bei dem Beweiſe zum Ausdruck kommt. Die Diviſion ein Auflöſen des Produktes in ſeine beiden Factoren(Multiplication und Diviſion entgegengeſetzte Rechnungsarten, Probe der Diviſion).
Bei der Auffindung des größten gemeinſchaftlichen Maßes, zunächſt blos zweier Zahlen, kann man die Beweisführung ſowohl mit dem erſten, als auch letzten Quotienten beginnen. Dabei kom⸗ men folgende Sätze in Anwendung:„Iſt eine Zahl ein Maß zweier Zahlen, ſo iſt ſie auch ein Maß der Summe und Differenz derſelben. Iſt eine Zahl ein Maß des Dividenden und des Diviſors, ſo iſt ſie auch ein Maß des Reſtes.“
Nachdem die Begriffe von abſoluten und relativen Primzahlen feſtgeſtellt ſind, beſteht das Auffinden des kleinſten gemeinſchaftlichen Vielfachen mehrerer Zahlen weſentlich im Zerlegen der ge⸗ gebenen Zahlen in Primfactoren, von denen blos die notwendigſten berückſichtigt werdeu, deren Pro⸗ dukt dann das kleinſte Vielfache der Zahlen ſein muß.
Bei der Subtraction mehrfach benannter Zahlen iſt beſonders wichtig die Zeitrechnung mit den 3 Hauptaufgaben: Berechnung der Zeitdauer, des Anfangs⸗ und Endpunktes, je nachdem aus 2 dieſer Größen die 3. geſucht wird. Der Beweis für die mündliche Berechnung iſt von dem für die ſchrift— liche verſchieden.
Quinta. Rechnen. 4 St. Nach Schellen I.
a) Jahrespenſum. Die gewöhnlichen Brüche und die Decimalbrüche.
b) Methode. Da der oben bei VI genannte, unſerem Zahlenſyſtem zu Grunde liegende Satz auch für die Decimalbrüche gilt, ſo könnte man unmittelbar nach den 4 Grundrechnungsarten mit ganzen Zahlen zur Behandlung der Decimalbrüche ſchreiten und die 4 Species derſelben durch⸗ nehmen. Die Verwandlung der gewöhnlichen Brüche in Decimalbrüche und dieſer in jene kann dann aber erſt nach Abſolvirung der Bruchlehre eintreten, ſo daß im Rechnen die Fortſetzung von dem, was zu Anfang des Schuljahres in V durchgenommen wurde, bis gegen Ende deſſelben verſchoben werden müßte. Ein derartiges Verfahren muß aber ſchon wegen einer ſo langen Unterbrechung der Behandlung eines zuſammenhängenden gleichartigen Unterrichtsſtoffes ernſtliches Bedenken erregen. Dazu kommt, daß man unter einem Decimalbruch bekanntlich einen Bruch verſteht, deſſen Nenner eine Potenz von 10 iſt, demgemäß alſo dieſe Definition ſchon den Begriff Bruch vorausſetzt. Dieſe und noch einige andere Erwägungen laſſen es geboten erſcheinen, die Decimalbrüche in der herkömm⸗ lichen Weiſe erſt nach den gewöhnlichen Brüchen durchzunehmen.
Der Begriff Bruch ergibt ſich aus den beiden Geſichtspunkten, aus denen man einen Bruch auffaſſen kann, nämlich als einen oder mehrere der gleichen Teile eines Ganzen und auch als einen Teil mehrerer gleichgeteilten Ganzen. Im letzteren Falle iſt das Wort Bruch gleichbedeu⸗ tend mit Quotient, alſo Zähler= Dividend, Nenner= Diviſor. Der Begriff Quotient erſcheint ſonach dem des Bruches untergeordnet; was alſo vom Bruche gilt, muß folgerichtig auch vom Quo⸗ tienten gelten, gleichviel, ob deſſen Teile als einfacher oder mehrgliederiger Ausdruck auftreten. Damit