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c) Es ist A1A: CaA= 21: a2, und CiJ: Ce2.= al: a, folglich C.A: C.A= C.J: C.J. Mit Hlülfe des Satzes 4. folgt hieraus sofort: C1A“:(½A=(C1J: C2J= al: aa.

A' und J' teilen sonach CrC harmonisch.

In Worten: Bei ähnlichen und ähnlich liegenden Ellipsen teilen die beiden Ahnlichkeitspunkte die Centrale innerlich und äufserlich nach dem Verhältnis der Achsen.

Über die Lage der beiden Khnlichkeitspunkte ist noch zu bemerken:

1. Liegen die beiden Ellipsen ganz auseinander, so liegen beide Khnlichkeitspunkte aufser- halb der Flächen beider.

2. Berühren die Ellipsen einander von aufsen, so liegt der Aäuſsere Ahnlichkeitspunkt auſserhalb der Fläche beider, der innere Khnlichkeitspunkt ist der Berührungspunkt.

3. Schneiden die Ellipsen einander, so liegt der äufsere Khnlichkeitspunkt aufserhalb der Fläche beider, der innere fällt in den beiden Ellipsen gemeinsamen Teil der Ebene.

4. Berührt die eine Ellipse die andere einschliefsend, so ist der Berührungspunkt der äuſsere Khnlichkeitspunkt, der innere fällt in die Fläche der kleineren Ellipse.

5. Liegt die eine Ellipse völlig in der Fläche der anderen(ohne dafs die Ellipsen kon- zentrisch sind), so fallen beide Khnlichkeitspunkte in die Fläche der kleineren.

6. Sind die Ellipsen konzentrisch, so fallen die beiden Khnlichkeitspunkte in den ge- meinsamen Mittelpunkt. 1

d) Die von dem äufseren(inneren) Anlichkeitspunkte zweier Kreise an einen derselben gezogene Tangente ist bekanntlich auch Tangente an den anderen. Da die Projektionen der Kreis- tangenten die Dangenten an die Ellipsen sind, so gilt dasselbe für die ähnlichen und ähnlich liegen- den Ellipsen. Man kann hiernach leicht die(vier) gemeinschaftlichen Tangenten an ähnliche und ähnlich liegende Ellipsen konstruieren: Man bestimme sich die beiden Khnlichkeitspunkte, indem man die Centrale der beiden Ellipsen innerlich und äufserlich nach dem Verhältnis der Achsen teilt, und ziehe von denselben an eine der beiden Ellipsen nach einer der in den vorhergehenden Para- graphen angegebenen Methoden die Tangenten; dieselben sind dann zugleich die Tangenten an die andere Ellipse.

Aus dem im vorigen Absatz über die Lage der Khnlichkeitspunkte Gesagten ergibt sich, dafs die vier gemeinschaftlichen Tangenten an ähnliche und ähnlich liegende Ellipsen nur dann sämtlich reell und von einander verschieden sind, wenn die Ellipsen ganz auseinander liegen.

Berühren die Ellipsen sich von aufsen, so fallen zwei derselben, nämlich die durch den inneren Ahnlichkeitspunkt(Berührungspunkt) gehenden, in eine zusammen.

Schneiden die Ellipsen einander, so sind durch den inneren Khnlichkeitspunkt, da er in der Fläche der Ellipsen liegt, keine(reellen) Tangenten möglich; die Zahl der gemeinschaftlichen Tangenten reduziert sich also auf zwei.(Man drückt sich auch aus, zwei der Tangenten werde imaginär.)