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C=(a+ ccos x)“, CeE ac cos X..........(5*)

Ebenso ist

CTz= be sin*Xx+(c— a cos X)*. PFormt man dies in derselben Weise um, wie dies mit dem Werte von C geschehen, so erhält man CR= a cos..........ͤ() Wird(5*) und(6*) durch Addition mit einander verbunden, so resultiert C+ C= 2 a.

Auf die zuletzt nachgewiesenen Eigenschaften der Ellipse(Gleichheit der Winkel, welche die Tangente mit den Brennstrahlen einschlieſfst und konstante Summe der Brennstrahlen) stüttzt sich die folgende Konstruktion der Tangenten an die Ellipse von einem Punkte aufserhalb der- selben:

Man verbindet den gegebenen Punkt P mit dem einen M⁴ Brennpunkt F der Ellipse, beschreibt mit FP um P einen Kreis; um den zweiten Brennpunkt Fi beschreibt man einen Kreis mit 2a, die Schnittpunkte beider Kreise mit einander, K und K verbindet man mit Fi, dann treffen diese Verbindungslinien die Ellipse in den Berührungspunkten C und Cu der gesuehten Tangenten. Man braucht dann nur noch G bezw. C mit P zu verbinden, um die ver- langten Tangenten zu erhalten.

Zum Beweis der Konstruktion verbinde man F mit C(Ci), K(Kl) und P. Es ist FiC.+ CK(FIG+ G K.)= FiC+ FC(FICG+ FCi)= 2 a, folglich CK(CiK¹) = FG(FCi), ferner FP= KP(K P), daher ist das Drcieck FOP(FC P) dem Dreiecke KOP (KiCiP) kongruent, also auch der Winkel FOP(FGCiP) dem Winkel PCK( PCIKI) gleich, womit die Richtigkeit der Konstruktion sich leicht ergibt.

c) Bezeichnet man FC“ der ersten Figur dieses§ mit ri, FrC“ mit r,, so ist nach(6*):

ru= a— c cos x, und nach(5*) r⸗= a+ ccos x,

folglich rir= a*²— c“ cos ²x. Nach§ 2, b aber gilt für den zu 00“ konjugierten Halbmesser d,²= a*— c= cos*; es ist sonach auch/ 4 rI T2= d,z

d. h. das Produkt der beiden nach einem Ellipsenpunkt gezogenen Brenn- strahlen ist dem Quadrat des Halbmessers gleich, der dem nach dem Ellipsen- punkt gezogenen konjugiert ist. d) Zieht man in derselben Figur von O das Lot OM auf C"G, so ist M= MH. Nach 3*½