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Berührungssehne geht, und die vier Punkte D, E, C, F sind harmonische Punkte. Wendet man wiederum 4. an, so erhält man für die Ellipse den Satz: 3

Der Durchschnitt zweier Tangenten liegt auf der Verlängerung des Durchmessers, welcher durch die Mitte der Berührungssehne geht, und zwar sind die Endpunkte des Durchmessers, der Schnittpunkt der Tangenten und die Mitte der Berührungssehne harmonische Punkte.

Aus diesen Sätzen ergibt sich sofort die folgende Konstruktion der Tangenten an die Ellipse von einem Punkte auſserhalb derselben:

Man verbinde den gegebenen Punkt F“ mit dem Mittelpunkt der Ellipse, zu den End- punkten des hierdurch bestiamten Durchmessers C'D’ und dem gegebenen Punkt suche man den vierten harmonischen Punkt(F“ zugeordnet), ziehe durch ihn eine Parallele zu dem Durchmesser der CD’ konjugiert ist. Die Schnittpunkte dieser Parallelen mit der Ellipse verbinde man mit dem gegebenen Punkte F“.

Aus der Planimetrie ist bekannt: Legt man durch einen beliebigen Punkt in der Ebene des Kreises z. B. F eine Sehne, welche den Kreis in den Punkten J und K schneiden möge und bestimmt zu F, J und K den vierten harmonischen, F zugeordneten Punkt L, so liegt derselbe auf dem Lot, welches man auf dem durch F gehenden Durchmesser in E(vierter harmonischer Punkt zu F, C, D und zwar F zugeordnet) errichtet. Dieses Lot wird bekanntlich Polare zu F, der Punkt F der Pol zu EL genannt. Durch Anwendung des Satzes 4. läfst sich dies nun sofort auf die Ellipse übertragen. Es folgt also aus dem eben erwähnten Satz der Planimetrie in Verbindung mit 4.:

Der geometrische Ort für die auf allen durch einen beliebigen Punkt in der Ebene der Ellipse gelegten Sekanten zu diesem Punkt und den Schnittpunkten mit der Ellipse bestimmten vierten harmonischen Punkte(dem gegebenen Punkt zugeordnet) ist eine Gerade, welche dem- jenigen Durchmesser parallel ist, der dem durch den gegebenen Punkt gehenden Durchmesser kon- jugiert ist. Der Punkt, in welchem diese Gerade den durch den gegebenen Punkt gehenden Durch- messer trifft, ist natürlich der vierte harmonische Punkt zu den Eundpunkten des Durchmessers und dem gegebenen Paunkt(letzterem zugeordnet). Der geometrische Ort führt auch für die Ellipse die Bezeichnung Polare, der gegebene Punkt heifst der Pol der Geraden.

Von den Sätzen über Pol und Polare, deren UÜbertragung vom Kreis auf die Ellipse nun keine Schwierigkeiten macht, mögen folgende herausgehoben werden:

a) Liegt der Pol innerhalb der Ellipse, so schneidet die Polare die Ellipse nicht..

b) Liegt der Pol aufserhalb der Ellipse, so schneidet die Polare die Ellipse in den Berührungspunkten der vom Pole aus an die Ellipse gezogenen Tangenten. Die Polare eines aufserhalb der Ellipse gelegenen Punktes ist also Berührungssehne.

c) Liegt der Pol auf der Ellipse selbst, so ist die Polare zugleich Tan- gente an die Ellipse. 1

Zu jedem Punkte existiert eine und nur eine Polare, zu jeder Geraden ein und nur ein Pol, den man konstruiert, indem man den zu der Geraden konjugierten Durchmesser zieht und zu seinen Durchschnittspunkten mit der Ellipse und seinem Durchschnitts- punkt mit der Geraden den vierten, letzteren zugeordneten harmonischen Punkt bestimmt. Der