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welche letzteren Gleichungen nach bekannten goniometrischen Sätzen, nachdem a in der zweiten Gleichung weggelassen, übergehen in: — d, cos β a sin x, 3 d, sin b.....(2) i
608 X
Eliminiert man aus(1) d, so erhält man:
aà cos X b sin X
cosa ne.63) Durch Elimination von d, aus(2) resultiert:
aà sin X b cos X
cos sins
Verbindet man(3) mit(4) durch Multiplikation, so ergibt sich: 22 5²
(4)
Cos GCos 5 sin œ sin„⸗ und hieraus findet man leicht:
tan æ. tan.==„......(5)
Aus dieser Gleichung lassen sich leicht folgende Schlüsse ziehen: Ist c= o, so muſs 65= 900 gein, ist æ ein spitzer Winkel, so ist ein stumpfer. Es läſst sich auch leicht zeigen, daſs 6G Z= a, stumpf sein muſs[vorausgesetzt natürlich, daſs ⁶ ‧ αᷣ sei]; man erhält nämlich aus
der bekannten goniometrischen Formel:
. tan G— tan α tan(E=eaA) ee 1ir ten g nin a
b ² b2 wenn man tan durch— ene und tan 6. tan x durch— 95 ersetzt und die Doppelbrüche al tan œ a —(b“*+ au tan ². fortschafft: tan(6— α—=(b a tan 8(6) e* tan
Da der Ausdruck auf der linken Seite negativ ist, so ist klar, daſs 6β— a stumpf sein mufs. Daraus folgt, daſs die kleine Achse einer Pllipse durch die stumpfen Winkel zweier kon- jugierter Durchmesser geht.[Die grofse Achse geht folglich durch die spitzen Winkel.]
Nur in einem Falle wird 6β.—«= 90 ⁰, wenn nämlich χ= O ist, d. h. wenn der eine Durchmesser die grofse Achse ist. In der Ellipse sind also nur die beiden Achsen auf einander senkrechte konjugierte Durchmesser.
b) Die projizierende Senkrechte des Punktes C(vor der Aufklappnng des Kreises in die
Projektionsebene CC“) ist offenbar gleich CH. sin„; es ist aber CH= a sin x, folglich ist .. b. c; CC“= a sin x sin y. Da cos y=—, so ergibt sich für sin„ der Wert 2 sonach ist a
C0“= ce sin x. In ähnlicher Weise erhält man für die projizierende Senkrechte des Punktes D (im Raume DD“) deu Wert c. cos x. Vor der Aufklappung des Kreises bilden CC“ und d die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, von dem a die Hypotenuse ist, daher ist nach dem pytha-
goreischen Lehrsatz: d?²= a*— e’ sin*x.