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angenehm sein möchte, dafs ihm ein Mittel geboten wird, bei der Repetition eines früheren Ab- schnittes doch wenigstens eine kleine Erweiterung zu geben. Eine derartige Behandlung des Gegen- standes dürfte selbst in solchen Realanstalten sich empfehlen, in denen die darstellende Geometrie gründlicher betrieben wird und die Ellipse in den Unterrichtsstunden der darstellenden Geometrie einer gründlicheren Behandlung unterzogen wird. Nur wird dann das Ganze als eine Repetition von einem anderen Gesichtspunkt aus zu betrachten sein. Mit Rücksicht hierauf und um eine Voll- ständigkeit zu erreichen, wie sie für die Schule wenigstens vollkommen ausreicht, habe ich auch Einiges an Konstruktionen und weiteren Ausführungen in die Arbeit aufgenommen, das sich von der gewöhnlichen Art der Behandlung der Ellipse nicht unterscheidet.

So denke ich, dafs die Arbeit, wenn sie auch für die Wissenschaft von geringer Be- deutung ist, doch nicht ohne Nutzen für den Unterricht sein wird. Sollte sie auch nur einigen. Fachgenossen erwünschte Anregung geben, so würde ich vollständig befriedigt sein.

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Einige Sätze, welehe im Folgenden oft zur Anwendung gelangen.*)

1. Die Projektion einer beliebigen Strecke auf eine Ebene ist dem Produkt der Strecke mit dem Cosinus ihres Neigungswinkels gegen die Ebene gleich.

2. Steht eine Gerade auf einer in einer Ebene gelegenen Geraden senkrecht, so steht auch ihre Prajektion auf die Ebene senkrecht auf der Geraden. Die projizierte Gerade(bezw. ihre Ver- längerung) schlieſst mit ihrer Projektion(bezw. deren Verlängerung) den Neigungswiukel derjenigen Ebene, welche durch die projizierte Gerade und die in der Ebene liegende Gerade bestimmt ist, gegen die Projektionsebene ein.

3. Die Projektionen paralleler Geraden auf eine Ebene sind parallel.

4. Strecken auf einer Geraden verhalten sich zu einander wie ihre Projektionen auf eine Ebene. Insbesondere sind die Projektionen gleicher auf ein und derselben Geraden gelegener Strecken einander gleich.

5. Projiziert man eine beliebige in einer Ebene gelegene Figur auf eine andere Ebene, so ist der Flächeninhalt der Projektion dem Flächeninhalt der projizierten Figur multipliziert mit dem cos. des Neigungswinkels der Ebenen gleich.

6. Dreht man eine Ebene um ihren Durchschnitt mit der Projektionsebene, bis sie mit der Projektionsebene zusammenfällt, so fällt jeder Punkt der Ebene in das von seiner Projektion aus auf den Durchschnitt der beiden Ebenen gefällte Lot bezw. seine Verlängerung.

Bem. Eine derartige Drehung einer Ebene nennt man das Aufklappen derselben auf die Proj ektionsebene.

*) Die hier aufgeführten Sätze werden im Folgenden citiert durch blofſse Angabe der ihnen vorge- setzten Nummer.