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Die vorliegende Arbeit wird dem Lehrer der Mathematik am Gymnasium, dem es ver- sagt ist, die Anfangsgründe der analytischen Geometrie in den Bereich seines Unterrichts zu ziehen, einen Weg zeigen, auf dem er seine Schüler mit den wichtigsten Eigenschaften der Ellipse, deren Kenntnis ihm für die Physik bezw. Mechanik und mathematische Geographie sehr erwünscht, wenn nicht unentbehrlich ist, auf eine leichte Art bekannt machen kann. Da nur die gewöhnlichen Sätze der Planimetrie und einige bekannte Sätze der Stereometrie bei den Ableitungen zur An- wendung kommen, so wird es eine Arbeit von wenigen Stunden in der Prima eines Gymnasiums erfordern, die ganze Sache durchzunehmen, zumal wenn der Selbstthätigkeit der Schüler Alles über- lassen bleibt, was den Lehrer nicht unbedingt erfordert. Vieles wird passend zu häuslichen Auf- gaben verwendet werden können, die der normale Durchschnittsschüler entweder ganz selbständig oder mit Hilfe weniger Andeutungen lösen kann.

Wenn ich sonach die Ueberzeugung habe, daſs von den Fachgenossen am Gymnasium manchem meine kleine Arbeit nicht unwillkommen sein wird, so glaube ich andererseits, dafs sie auch von den Kollegen am Realgymnasium benutzt werden kann. Zwar ist ja in den Lehr- plan der Realgymnasien die analytische Geometrie der Kegelschnitte aufgenommen und deshalb dem Lehrer der Prima reichlich Gelegenheit geboten, die Ellipse nach ihren Haupteigenschaften analytisch zu betrachten, nichtsdestoweniger wird es ihm angenehm sein, den Schüler die auf ana- lytischem Wege abgeleiteten Sätze auf eine andere Weise bestätigen lassen zu können. In Schulen nun, in denen, wie in den meisten preuſsischen Realgymnasien die darstellende Geometrie nur geringer Pflege sich erfreut, in denen also auf die Darstellungen, wie sie die oben erwähnten Autoren bieten, verzichtet werden mufs, bietet ein Mittel hierzu das von mir im Folgenden Ge- botene. In diesen Schulen wird der zweckmäfsigste Weg wohl sein, einzelne Aufgaben zu stellen, um an sie weitere Betrachtungen anzuknüpfen. Es könnte z. B. die Aufgabe gestellt werden: „Durch den Mittelpunkt eines gegebenen Kreises vom Radius a wird eine Ebene gelegt,

welche mit der Ebene des Kreises einen Winkel bildet, dessen Cosinus gleich 4 ist. Ein be-

liebiger Radius wird auf diese Ebene projiziert. Wenn nun die Projektion mit der Durchschnitts- linie beider Ebenen den Winkel« bildet, wie grofs ist die Projektion?“ Die Lösung der Auf- gabe, welche den Schülern einer Realgymnasialprima gewils keine Schwierigkeiten bietet, gibt Ge- legenheit zu den in der folgenden Arbeit im§ 1 angestellten Betrachtungen. Um zu den im§ 2 behandelten Sätzen über konjugierte Durchmesser und Supplementarsehnen zu gelangen, könnte man zu- nächst die Aufgabe stellen:„Zwei auf einander senkrechte Halbmesser eines Kreises vom Radius a werden auf eine durch den Mittelpunkt des Kreises gelegte Ebene projiziert, welche mit der Ebene des Kreises

... b 1 einen Winkel bildet, dessen Cosinus=— ist. Man soll den Zusammenhang angeben, der zwischen a

den Winkeln besteht, welche die Projektionen mit der Durchschnittslinie der beiden Ebenen bilden.“ Durch ähnliche Aufgaben, deren Aufstellung dem Lehrer keine Schwierigkeit machen wird, be- kommt man Gelegenheit, einen grofsen Teil dessen, was diese Arbeit bietet, durchzunehmen. Anderes, wie die Sätze über Pol und Polare, Xhnlichkeitspunkte u. s. w. würde freilich praktisch an die Repetition der entsprechenden Sätze aus der Planimetrie angeschlossen; es wird dann nur weniger Andeutungen bedürfen, um den Schüler zur Ubertragung der betreffenden Kreissätze auf die Ellipse zu befähigen. Und auch dies ist ein Umstand, der manchem Fachgenossen nicht un-