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3. Die Scheitelgleichung einer Parabel ist y= 2ax. Betrachtet man a als veränderlichen Parameter, so erhält man eine Schar von Parabeln, die sich im Scheitel berühren. Man hat

ap+ y= 0 a=— 8 und wenn dies in die Gleichung der Parabel eingesetzt wird, als Differentialgleichung der Trajectorie: * 2 ſrar=— ſexax c; 2+= C; 2x*+ y2= C.

Die Trajectorie einer Schar von Parabeln, die sich im Scheitel berühren, ist also eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Anfangspunkt der Coordinaten liegt, deren grosse Axe in der YAxe liegt und sich zur kleinen wie 2: 1 verhält.

Eine Vergleichung der drei Gleichungen der Trajectorien für die Ellipse ſabgesehen von dem besonderen Fall 4= 2], Hyperbel und Parabel zeigt, dass eine aus der anderen erhalten werden kann, wenn für die Ellipse positiv, für die Hyperbel 1 negativ, für die Parabel 1= 0O genommen wixrd, ein Resultat, welches bei dem gegenseitigen Verhältniss der Gleichungen dieser drei Curven vorauszusehen war.

V. Es soll ein Kegelschnitt aus seiner ursprünglichen Lage verschoben werden. a. Die Verschiebung geschehe parallel zur grossen Axe(für die Parabel parallel zur Axe). 1. Die Gleichung für die Ellipse ann in diesem Falle dargestellt werden durch:

(V= h)

d) 2 e= wobei h veränderlicher Parameter ist. Man erhält: X— h 1 und hieraus:— 1— bxp. b 2²

Substituiert man dies in(1), so erhält man als Differentialgleichung der Trajectorie: X2² b ² X2² p* G).

p= 1. 14—

= 1.

Hieraus hat man

2 — X:¹

1.— 2 a Für das obere Zeichen bekommt man y= P rr dx+ C L= 32— X. 7 41= e ſpe d x— X X= jxXI2— 1 Xa7— X* Eſe 3 —x= 1,2a: †. 22 11. Nun aber ist Ler— 2( 4)