8

1+.=—*91():+ b⸗

[was hier wegen der Symmetrie der ursprünglichen Hyperbeln gestattet ist], so erhält man das aus der Figur 2 ersichtliche Bild der Curve.

IlI. Es sollen die orthogonalen Trajectorien ähnlicher concentrischer Kegelschnitte

bestimmt werden. 2

2 1. Es sei—— 1.— 1 die Gleichung einer Ellipse und a veränderlicher Parameter, so erhält man eine Schar ähnlicher concentrischer Ellipsen. Um die Trajectorie zu finden, hat man

2

x—

786 P. 9 X

7b=Z 0

Eine Elimination von a ist nicht nöthig, da die Gleichung dasselbe nicht mehr enthält. Man bekommt

14x= dy 4y=.(Xc) „= 02

Es sollen hier nur die Fälle genauer betrachtet werden, dass 1 eine ganze Zahl ist. a. 1 ist eine gerade Zahl. Die Curve liegt dann symmetrisch gegen die XYAxe. Wenn C N 0 angenommen wird, erhält

man nur positive y. Da y= C4—1 ist, so fällt die Curve von x=— H bis X= 0

und steigt von x= 0 bis x=+. y“=(4(1— 1) X*— 2 jst positiv für alle Werthe von x, also liegt die Curve convex gegen unten. Für C= 0 kehrt sich Alles um; man erhält

nur negative y, die Curve steigt von x=—%n bis x= 0 und fällt von Xx= 0 bis X=+ bH, sie kehrt ihre convexe Seite nach oben. Soll unsere Gleichung beide Fälle enthalten, so kann man ihr die Form geben y= 4¼ C x*

und erhält dann das in Figur 3 gezeichnete Bild für die Curve. b. 1 ist eine ungerade Zahl. Wenn C positiv genommen wird, so erhält man für x=+ a und X=— a gleiche, aber

1— 1 stets positiv bleibt, so steigt die Curve von

— 2

entgegengesetzte Werthe von y. Da y= CA X X=— bis Xx=+. y“= C4(4— 1) 1 ist von Xx=— dd bis X= 0 negativ,

von da bis x=+ d positiv, die Curve also von Xx=— d bis X= 0 concav nach unten,