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der Ausdehnungslehre und des Situationskalkuls weiterarbeitete. Allein das spärliche Maſs an Zeit, das ihm für eigne Untersuchungen bleibt, gestattet dies ganz und gar nicht. Er muſs daher wünschen, daſs andere in jenen Wissenszweigen thätig seien. So weit seine Kenntnisse reichen, scheint es ihm, daſs die„Ausdehnungslehre“ und die Quaternionen später in eins ver- schmolzen sich weiter entwickeln werden. Hat der gelehrte Deutsche, durch Zeit und Umstände beeinfluſst, vorwiegend eine breite Grundlage gelegt, so hat der bedeutende englische Mathematiker, ohne die Fundamente unbeachtet zu lassen, doch ganz vorwiegend die Methode nach allen Seiten zur Anwendung geschickt gemacht und dieselbe vielfach auch schon zur Lösung von Problemen verwendet, und zwar autf allen Gebieten, die mathematischer Betrachtungsweise zugängig sind. Vielleicht würden Grassmann's Untersuchungen nützliche Winke geben bei Erweiterung der Quaternionen auf das polydimensionale Gebiet.

2.— Die Arbeiten des Herrn Dr. Scheffler haben die Argand'sche Theorie auf den Raum übertragen. Wie schon Argand in der Ebene unter dem Produkte zweier Vektoren 01 und z den Vektor e verstand, der sich aus der Proportion

. 1: Ol= 02: O

ergab, wobei also 0bv= 01 62= I1(cos a+‿¶ V— 1 sin a). r(cos+ V— I sin S) = Irs.(cos(4‿+‿&)+ V— 1 sin(+˖ 9) wird, wenn ri und r. die absoluten Längen von* und ea sind, so hat Dr. Scheffler fär den Raum aus 1: l= 2:( Q2= OQr.= TI re[cos(Gi+† 92)+ sin(†r ℳ‿ 92) V— 1].[cos(un † u)+ V=I sin(ur+„²)!

erhalten, oder auch in folgender Form

0ꝗb= rie*1.I— 1. e v1 1. r e“e2 I= 1. e*½= 1= FI T.. e Gr+ 92)’=1 e(v1+„2). Allein die Rechnungen des Situationskalkuls geben zu folgenden Bedenken Anlaſs:

Um Strecken mit einem gewissen Drehfaktor zu multiplizieren(mit dem sogen. Inklinations- faktor, vergl. Situationskalkul pag. 162), geschieht diese Multiplikation, statt an der Strecke selbst, an ihrer Axe, d. h. an einer zu ihr senkrechten Strecke. Anstatt also an einer gegebenen Strecke zu operieren, geschieht dies an einer andern, ein Verfahren, das für Multiplikation und Division als zulässig nachgewiesen wird, bei der Addition und Subtraktion dagegen zu unrichtigen Resul- taten führt. 3

Die Multiplikation von a cos; mit cos+ sin w V= I(Seite 166 des Situationskalkuls) läſst a cos ungeändert gleich a cos, ein Ergebnis, was nach den Regeln der Arithmetik nur zulässig, wenn a cos+ sin„ V= 1 gleich 1 wäre.

Seite 162 findet sich der Satz, daſs die Multiplikation einer Axe(d. h. doch einer Strecke in einer gewissen Richtung) mit einem Deklimationskoefficienten überall keinen Sinn habe.

Endlich gilt für die Scheffler'schen Zahlen das distributive Prinzip nicht, ohne daſs, nach meinem Wissen, eine Andeutung gegeben wäre, auf welche Eigentümlichkeit des Raumes, oder der Bewegung im Raum, sich diese Regel gründen lasse. Hamilton und die Gebrüder Graves wurden durch Bedenken über die Unzulässigkeit des distributiven Prinzips zum Aufgeben ihrer zu ähnlichen Resultaten gelangenden Untersuchung veranlaſst. Auch Graves hatte näm-

lich gefunden.. 0b= T. ei?. ej“, und Or ᷣ= II T.. Si(Ei † 92). ej(u1+ 92).