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Diese Gerade geht von dem Endpunkte des a aus und ist die Erweiterung des an a angetragenen Vektors b, während r der nach Richtung und Gröſse variable Vektor ist für die einzelnen Punkte der Geraden.

Ferner ist 12= e² die Gleichung einer Kugelfläche, deren Radius die Länge der Strecke c hat. Sollen nun die Schnittpunkte zwischen der Geraden und der Kugelfläche gefunden werden, so setzt man

(4+ 5b)*= e⸗, wodurch man für& zu der quadratischen Gleichung

a2+ 288(ab)+ 82 bz= G²

gelangt. Dieselbe führt, je nachdem die Werte und Richtungen von a und b beschaffen sind, für 8 zu reellen oder imaginären Zahlen, welche letztere sich unter der Form

m n V 1 darstellen, wobei m und n reelle Zahlen sind. Dals jetzt’v—— 1 nicht einen Vector bedeutet, ist klar. Es handelt sich ja um Auffindung der richtungslosen Zahl s, und für diese Fälle be- trachtet die Quaternionentheorie in der That V— 1 als das Zeichen dafür, daſs die Gerade die Kugelfläche nicht schneidet. Es hilft hier in der That nichts, wenn man sagt, es würden durch solche imaginären Werte der Zahlkoefficienten die Schnittpunkte dargestellt zwischen dem, was man erhält, wenn man in die Gleichung der Geraden und der Fläche complexe Coordinaten ein- führt. Denn das Einsetzen solcher Coordinaten läſst die Gerade und das Gebild, welches dieselbe schneiden soll, in ganz andere geometrische Gebilde entarten, und es ist doch sonderbar, wenn man da noch von Schnittpunkten der ursprünglichen Gebilde spricht, wo man zu denjenigen ganz anderer geometrischer Figuren gelangt ist. Auffälliges liegt jedenfalls nichts darin, wenn die Quaternionen- theorie das beim Lösen von Zahlengleichungen gefundenen V— 1 nicht identificiert mit Vektor- werten, deren Quadrat auch— 1 sein kann.

Ausdrücke von der Form qi+ qe V— 1, die man complexe Quaternionen nennen kann, führen nun aber zu ähnlichen Erweiterungen der Quaternionen-Rechnung, wie die gewöhnlichen complexen Zahlen in der Theorie der Funktionen reeller Zahlen.

3.— Diese complexen Quaternionen bieten allerdings eine schon erwähnte Eigentümlichkeit, nämlich die, daſs z. B.(a+ V— 1)(a— V— 1), wo a ein Einheitsvector ist, zu Null wird, ohne dals einer der Factoren Null ist. Allein es scheint, daſs jede neue Untersuchung dafür sorgt, neue Probleme zu liefern, damit die Wissenschaft nicht zum Stillstand kommt. Es lälst sich also auch erwarten, daſs dieses Ergebnis seine Erklärung noch finden werde. Vorläufig sind Aus- drücke wie di † V— 1. Rechnungsgröſsen, die als Wurzeln von Gleichungen sich ergeben und der Vollständigkeit wegen zugelassen werden müssen.

4.— Nachdem wir in den vorstehenden§§. uns bemüht, die Bedenken und Einwürfe des Herrn Dr. Scheffler gegen die Quaternionen zu widerlegen, glauben wir doch zwei Vorwürfen gegenüber die Sache auf sich beruhen lassen zu müssen. Die Formeln des Situationskalkuls sollen kürzer sein, wie die der Rechnung mit Quaternionen, und überdies hat nach Dr. Scheffler's Ansicht diese Rechnungsweise ihr Ziel ganz verfehlt, da sie es gar nicht fertig gebracht, aus der Ebene sich in den Raum zu erheben. Wir müssen uns da mit Hamilton trösten, der den Raum gerade als das eigentliche Gebiet seiner geometrischen Quotienten betrachtet, sowie mit Möbius, Cauchy, Grassmann, Hankel und Tait, die alle derselben Ansicht sind. Es ist vielleicht zuweilen auch nicht unrühmlich, mit bedeutenden Männern des Irrtums angeklagt zu werden.