15

. j2e ji=+l,

und daſs diese allgemeinere Form der Quaternionen der Umgestaltung fähig ist, zeigt die Lehre von den longimetrischen Quaternionen, welche als derjenige Grenfall auftreten, wobei die Strecken b und a parallel sind, ein Fall, dem Hamilton noch keine besondere Untersuchung gewidmet, dem aber hier dieselbe Wichtigkeit zukommt, wie in der Mechanik den parallelen Kräften und Kräftepaaren neben Kräften, deren Richtungen einander schneiden. Warum aber der strenge Kritiker der Quaternionen ji, je, js für identisch mit in in, iz hält, ist nicht klar. Die dafür in des Verfassers Theorie gegebenen Gleichungen bieten nicht den geringsten Anlaſs dazu.

2.— Auf das polydimensionale Gebiet die Quaternionen auszudehnen. dazu hat bis jetzt die Veranlassung gefehlt. Hamilton hat schon früher Untersuchungen geführt, wobei er mehr als drei Einheiten voraussetzte. Es geschah dies in der Theorie der„Sets“, wie er sie nennt und worüber sich eine Notiz in der Einleitung zu den Lectures findet. Ein Übergang zu Gebilden im vierdimensionalen Raume würde keine Schwierigkeit machen, abgesehen davon, dals Hamilton auch diese Erweiterung schon berührte. Man hätte ja nur ein ia und j, anzunehmen. Dals es nicht geschehen, hat wol mit seinen Grund darin, daſs dann sofort die Frage aufgeworfen werden mülste, welche von den Prinzipien der Arithmetik— ich nenne nur das associative, das commu- tative und das distributive der Multiplikation— bei der Annahme einer räumlichen Mannig- faltigkeit vierter Art noch giltig wären. Da uns jetzt die„Figur“ fehlen würde, so käme es auf willkürliche Feststellungen hinaus, denen die Kritik dann vielleicht mit mehr Recht etwas anhaben könnte, als der jetzigen Quaternionen-Theorie, die sich in ihren neuen Regeln doch noch durch die Gesetze des anschaulichen dreidimensionelen Raumes leiten läſst. Die polydimensionalen Grölsen des Herrn Scheffler bleiben über diesen Punkt freilich auch jede Antwort schuld.

§. 6. Das Imaginäre der allgemeinen Arithmetik.

1.— Die Betrachtungen des§. 4 zeigten, daſs in, ig, i; Werte sind, deren Quadrate zu

negativen Einheiten— 11,— 12, und— 13 führen, daſs also i1= V= I, 12= V=; is= V—= 1.

Danach fiele also in der Theorie der Quaternionen das Imaginäre oder Unmögliche, das sonst dem V- 1 anhaftet, anscheinend vollständig weg. Dem ist jedoch nicht ganz so. Die Theorie der Quaternionen zeigt allerdings, daſs nicht bloſs obige Gröſsen gleich den verschiedenen Werten von V— 1 sind, sie geht sogar so weit, auf eigentümliche Betrachtungen hin— wodurch Einheitsquaternionen, deren Winkel ein Rechter ist, gleich demjenigen Einheitsvektor gesetzt werden, welcher auf der positiven Seite senkrecht auf der Ebene der Quaternion steht— nachzuweisen, dals das Quadrat eines jeden Einheitsvektors gleich— 1 ist. Aber trotzdem hat das gewöhnliche Imaginäre der Algebra, also V— 1, auch noch in der Quaternionenlehre seine Bedeutung, dann nämlich, wenn man bei Rechnungen nicht mit Vektoren, sondern mit gewöhnlichen Zahlen darauf geführt wird.

2.— So ist z. B. in der Quaternionen-Thecrie

. r= a+Eb die Gleichung einer Geraden, wenn r, a und b Vektoren bedeuten und E eine variable Zahl ist.