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erregt. Nachdem er ungefähr zwei Seiten lang gegen den bei Hankel als Druckfehler stehenden Ausdruck

11 i2 iz=+† 1

angekämpft(zwei Zeilen höher steht dort auch die richtige Formell), erklärte er auch

1 12 iz== 1 für falsch, da diese Gleichung in Widerspruch mit der Figur stehe.— Nun ist aber erstens, wie wir schon gesehen, inie= ig; multipliziere ich diese Gleichung in i,= ig, so ist

11 iz iz= 152= 1. Also ist die Formel rechungsmäſsig richtig. Multipliziere ich an der Figur oa mit ig ig ig, 8o ist iz oa= oci, ferner i.oci= ob, und i. ob= oa=— oa, mithin in iz i. oa=(— 1) oa oder il iz iz=— 1,

was zu beweisen war. Wenn Herr Scheffler+ 1 herausbekommt, so ist das insofern richtig, als er der Reihe nach mit in, dann mit ie, dann mit i; multipliziert hat, eine Multiplikation, welche aber in der Quaternionentheorie mit i; ie i=+ 1 ausgedrückt wird, wie man in jedem Buche über diese Materie findet. Etwas Aufmerksamkeit verlangen auch die Quaternionen, und ohne dieselbe kann man mit ihren Formeln vieles, wenn auch nicht alles machen, wie behauptet wurde.

Wir resümieren: Die Versuche, welche Herr Dr. Scheffler macht, um der Rechnung mit Quaternionen Unrichtigkeiten nachzuweisen, sind basiert entweder auf Voraussetzungen Scheffler's, die der Quaternionenrechnung fremd sind, oder auf Nichtbeachtung von Gesetzen, wonach sich die Rechnung hier richten muſs, nämlich dals qi æ nicht gleich qa qr, und ebenso dals auch für einfache Vectoren schon a. b nicht gleich b. a ist, sowie endlich als Konsequenz hiervon, dals wohl b: a in a: c multipliziert b: c ergiebt, daſs a: c in b: a multipliziert sich aber nicht zu bic ver- einfacht.

§. 5.

Die Erweiterungsfähigkeit der Quaternionen.

1.— Einen Einwurf gegen die Theorie der Rechnung mit Vektoren im Raume, wie sie in England zuerst ausgebildet worden, hat man ferner daher genommen, daſs man sagte, dieselbe sei keiner Weiterbildung fähig. Dieser Tadel ist ebenfalls unbegründet. Zuerst ist die Quaternionen- theorie ganz frei von festen Axen etc., selbst die in, i?, i; werden nicht allzuhäufig verwendet, da jedes Vektorenpaar sofort die Grundlage abgiebt, woran alles andre angeschlossen werden kann.

Die Elementarquaternionen iu, ia, i, spielen in den Anwendungen gar keine so wichtige Rolle, wie man glauben könnte. Sie dienen zur Anknüpfung an die analytische Geometrie des Raumes und zeigen am einfachsten die viergliedrige Form der Quaternionen. Statt ihrer treten später viel häufiger die durch T, U, K, S, V angedeuteten Operationen ein, die auf Quaternionen wie Vektoren Anwendung finden, namentlich nachdem gezeigt ist, wie jeder Vektor als Vertreter einer Quaternion mit rechtem Winkel aufgefalst werden kann.

Aber auch nach einer anderen Seite ist die Methode weiter entwickelbar. Statt mit recht- winkligen Quaternionen zu rechnen, ist es ein Leichtes, schiefwinklige Streckenquotienten als Grundlage der Rechnung anzunehmen. Setzen wir nämlich einmal eine beliebige dreiseitige Ecke, also mit nicht rechten Winkeln und Keilen, voraus, und bezeichnen dabei die Quaternionen aus den gleichlangen Kanten oa, ob, oc mit j, je, js, so gilt auch jetzt noch