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112= 12—.2= 1,

aber ohne die Folgerung, daſs deshalb i,= i= iz wäre, letzteres nicht, weil eine solche Gleich- setzung ein Verstols gegen die Feststellungen über die Gleichheit zweier Quaternionen wäre, indem ja die Ebenen von il, i, und is senkrecht zu einander sind. Aber auch Herr Dr. Scheffler hätte diese Konsequenz nicht ziehen dürfen, da er im Situationskalkul ebenfalls verschiedenartige — 1 annimmt und das eine von dem andern durch die Bezeichnungen

— 1,— 1, 1

unterscheidet.

Hat nun aber die Quaternionentheorie durch die Nichtbeachtung der verschiedenen— 1 sich nicht zu Fehlern verleiten lassen? Nein, und zwar aus folgendem Grunde. Alle, die über Quaternionen geschrieben haben, sahen ein, dals V=— 1 hier ein unenqdlich vieldeutiger Ausdruck sei, der daher, wenn mehrere Werte ihm gleich gesetzt werden, gar keinen Schluſs auf deren Gleichheit unter einander zulälst. Und im Bewulstsein dieser Unbrauchbarkeit des Symboles V-— 1 veist die Quaternionentheorie dasselbe fast ganz aus ihren Rechnungen zurück, nimmt nach dem Vorgange von Gaufs i als Drehfaktor von 90⁰, bezeichnet solche Faktoren, die in verschiedenen Ebenen drehen, etwa mit in, i, etc., und definiert dieselben als Einheitswerte qurch Multiplikation mit deren Potenz in eine Strecke in der Ebene derselben aus ihrer Anfangslage um n Rechte gedreht wird. Wird daher a mit in² multipliziert, so verwandelt es sich, und zwar durch eine Drehung in der Ebene des il, in— a.

Wir wiederholen: Da iu, is, is Drehfaktoren in verschiedenen Ebenen sind, so können die- selben nie einander gleich werden. Die scheinbare Gleichheit, die aus il², i,2, i,2, die man gleich — 1 setzte, folgen sollte, beruht auf einer ungenauen Auffassung und Verwendung des— 1, welche sofort verschwindet, wie man

112=— 113 122=— 13, 122=— 15 setzt. Diese Auseinandersetzung, die in gleicher Länge sich nirgends findet, wird wol ausreichen zur Beurteilung der Behauptung Scheffler's, daſs il= i2= jg, daſs diese Symbole mithin untauglich dazu seien, als Grundlage der Quaternionenlehre zu dienen.

3.— Sobald einmal erkannt ist, dals dem arithmetischen V— 1 viele Deutungen zu- kommen können, je nach der Ebene, in welcher die durch dieses Symbol angedeutete Drehung stattfinden soll, so entsteht auch die Frage danach, in welchem arithmetischen Zusammenhang denn diese verschiedenen Werte stehen. Zu dieser Frage aus dem rechnenden Gebiete giebt nun gerade die Quaternionentheorie eine Antwort, ohne behaupten zu wollen, daſs dies die einzig mögliche sei. Wir erwähnen dies hier, um damit vielleicht das Bedenken des Herrn Prof. Hoppe in etwas zu beseitigen, daſs durch die Quaternionen nicht ebenfalls eine arithmetische Schwierig- keit gelöst würde. Sollte hiergegen der Einwurf gemacht werden, dals diese arithmetische Schwierigkeit erst durch die Vektorenrechnung Hamilton's geschaffen worden, so lieſse sich entgegnen, dals die Deutung von V=— 1 auch erst ein Problem wurde, als durch die Geometrie die negativen Werte ein Bürgerrecht in der Algebra gefunden, und daſs eine wirkliche Wissens- erweiterung, die nicht auch zu neuen Pragen in Bezug auf Klteres führt, noch nachzuweien wäre.

4.— Einen weiteren groſsen Anstols hat bei Herrn Scheffler die Formel il iz i=— 1