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Erwähnen wollen wir noch, dass bei der Weiterentwickelung sich ergiebt. daſs allgemein

di de sich von qe di dadurch unterscheidet, daſs ein gewisser Teil des entwickelten Produktes di d.=(Wi+ i1 XI ie Vi+ is 21)(W2+ ii Xe+. i2 Ye+. i 23) in dem einen Falle ein anderes Zeichen erhält, als im zweiten Palle.

2.— Die in diesen Ausdrücken vorkommenden il, in, ig sind die von uns oben benutzten Quaternionen aus den drei gleichlangen Kanten einer rechten Ecke.

Da sich die Ausstellungen des Herrn Dr. Scheffler mehrfach an diese Elementarquaternionen knüpfen, so wollen wir deren wichtigste Eigenschaften noch direkt ableiten. Ol ob au -= ä. ob da da

hnlich liefse sich leicht zeigen, dals ie2=— 1 und i,2=— 1 ist. Folgt nun hieraus, daſs ii= i,= i= V— 12 Ja und nein. Da wir wissen, dals in eine Quaternion ist, welche um einen Rechten dreht und zwar in der Ebene XYy, iz eine solche, die in der yz Ebene, und ig eine solche, die in der zX Ebene dreht, so sind ihrem Wesen nach diese Quaternionen durchaus nicht einander gleich. In Bezug auf die Grölse der Drehung herrscht Gleichheit, in Bezug auf die Drehungs- axe und-Ebene Verschiedenheit. Da scheint es aber, als führe hier die Quaternionentheorie nach- träglich doch noch ein neues Prinzip ein, wonach Gröſsen, die einer dritten gleich sind, nicht unter einander gleich wären. Dem ist nicht so. Dals die Entstehung und die Bedeutung von in, ig und is dieselben nicht als gleichwertig ergeben, haben wir gesehen. Es muls also ein Fehler gemacht werden durch die Gleichsetzung von il, i, und i, mit V— 1. Und derselbe ist in der That vorhanden und ist bewirkt durch eine Ungenauigkeit in einer herkömmlichen Bezeichnung.

Die Quaternionen sind im Allgemeinen geometrische Quotienten, die sich nicht vollständig durch die gewöhnlichen Zahlen ausdrücken lassen. Nur in zwei Fällen reichen positive und negative reelle Zahlen aus: wenn nämlich der Winkel der Quaternion Null, oder wenn er zwei Rechte beträgt. Sind dabei die Schenkel des Winkels längengleich, so erhält man im ersten Falle+† 1, im zweiten— 1 als Wert des Quotienten. Es ist aber für d=— 1 die Ebene der Quaternion vollständig unbestimmt, da ich ja oa nach seiner Rückverlängerung oan in unzählig viel Ebenen überführen kann. Bestimme ich nun, daſs— 1 der Quotient für den Fall sein soll, in welchem ich von ou über ob nach oax gehe, so darf ich genau genommen nicht mit— 1 den Quotienten oa durch oa bezeichnen, wenn die Bewegung in einer anderen Ebene erfolgen soll.

Nenne ich aber einmal— 1 die Quaternion, die oa nach oax überführt, so darf ich noch viel weniger mit demselben Ausdrucke die Quaternion bezeichnen, welche ob in der Ebene obeb nach ob, überführt, und auch nicht die Quaternion, durch welche oc über oa nach ocn gedreht wird. Man sieht hoffentlich ein, daſs vom Standpunkt der Quaternionen-Rechnung verschiedene — 1 einzuführen wären. Nennen wir deshalb einmal das— 1, welches oa in oa verwandelt— 11, die beiden anderen dagegen, welche ob nach obi, und oc nach ocz führen,— 12 und— 13, s0 haben wir i12= 11, 12= 1, 1. 2=— 1;, und nun ist, der Wirklichkeit entsprechend, der Schluſs

i= i.= i,= /— 1 gar nicht mehr möglich. Hat man in der That in der Theorie der Quaternionen diese Unter- scheidung gemacht? Dem Verfasser ist hierüber nichts bekannt.(Hamilton hat die Bezeichnung 11, 12 etc. zwar einmal benutzt, aber zu anderen Zwecken). Bei Hamilton, Tait, Kelland Odstrcil'und in des Verfassers eignem Buche findet sich

:, db Hgu: Es ist in=—, aber auch— 1.= i, daher il²= oa ob