np p n sei die Tilgung des Zählers gegen den gleichnamigen Nenner nicht gestattet. In welchem aber? Hamilton hat sich, indem er überall annimmt, daſs in einem Produkte rechts der Multiplikand, links der Multiplikator stehe, für

entschieden, weil dann die Formel.I.

11 12= 13, welche sagt, daſs die Drehung einer senkrechten Geraden in der Ebene yz um einen rechten Winkel mit darauf folgender gleichgroſser Drehung in der Xy Ebene, gleich einer Drehung der ersten Geraden um einen Rechten in der zX Ebene sei, sich auch durch Vereinfachungen nach der gegebenen Regel als richtig ergiebt. Die oben genannten Drehungen sind sämmtlich in der Normalrichtung(der Uhrzeiger) gedacht. Wollte man dagegen in i; in, welches durch

darstellbar ist, obz herausfallen lassen und als Resultat oda: oc setzen, so käme man zu dem falschen Resultate, wonach oa um 900 in der xy Ebene gedreht, und dann um einen Rechten in der yz Ebene, dasselbe gäbe, wie die Drehung des oa in der Ebene zx um einen Rechten in der Normalrichtung, welche letztere Bewegung aber oa nach oci, d. h. in die negative Lage von oc führen würde.

6.— Dals übrigens die Erkenntnis des Satzes, wonach q da ungleich qæ q ist, für Hamilton seine Schwierigkeiten hatte, kann man begreifen. Wie er in seinen Lectures erzählt, schwankte er sogar, ob er nicht qν ςᷣ de qi beibehalten solle, dagegen qu(qe+ qa) nicht gleich qi de+ q Js setzen müsse. Damit wäre dann freilich die ganze Quaternionen-Theorie eine andre geworden, wenn sie überhaupt zu Stande gekommen wäre.

Unter der Annahme der Gleichung in ie=— j, in, die also nur ein Ausdruck der Nicht- vertauschbarkeit der Faktoren, ist es dann möglich, aber auch notwendig, die Richtigkeit der zwei Principien der Rechnung

(di de) ds= qr(4e 4a), und qi(d.+ qs)= 1 d+ d1 ds, von denen man das erste das associative, das letztere das distributive Princip der Multiplikation nennt, zu beweisen. Den Nachweis für die Richtigkeit des ersten Satzes hat Möbius am einfachsten gegeben; Hamilton selbst hat für beide verschiedene Beweise ihrer Giltigkeit geliefert.

§. 4.

Die Quaternionen i,, i,, ia.

1.— Nachdem wir die Grundlagen der Quaternionen-Theorie festgestellt, folgt aus ihnen alles Weitere mit mathematischer Strenge. Unter den gemachten Voraussetzungen ist diejenige, dass qi de nicht gleich qæ di, durch die Beschaffenheit des Raumes selbst nothwendig geworden,

und es hat die Vereinfachung 4.4 7 während 2n nicht gleich 4 ist, auch ihre Er- klärung gefunden.

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