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Körper nach einander wirken, das Resultat der Bewegung ein verschiedenes ist, je nachdem die eine oder die andere Bewegung zuerst eintritt. Den Nachweis dieses Satzes findet man in den Werken über Quaternionen, aber auch z. B. in Schell’s Mechanik ausführlich gegeben. Wie zeigt sich nun diese Eigentümlichkeit in der Quaternionen-Theorie? Denken wir uns eine rechte Ecke mit den Kanten oa, ob, oc, deren Verlängerungen über o mit oOax, obi, oc bezeichnet seien. Nennen wir in die gleichwertigen Quatermionen ob: oa= bHa: ob= obz: oa= ba: obn, wobei wir die Längen der von o ausgehenden Vektoren als gleich voraussetzen; seien aufserdem die Quaternionen octob— obz:oc= oc,:ob= ob: oc= i9, und endlich og: oc= ocioa oar: oc— oc: oa= i;,, so ist ii iz. Oc= il.(obi: oc)oc= il. obz=(oa: obz) obr= oa. 4 Da aber auch i,.oc= oa ist, so haben wir in ie= iz, eine Gleichung, von deren Richtigkeit man sich auch leicht dadurch überzeugt, dals man beachtet, wie oc nach obz und von dort nach oa bewegt, dasselbe ergiebt, wie die direkte Bewegung von oc nach oa.— Lassen wir dagegen z. B. oa sich nach ob und von dort nach oc bewegen, so ist das Resultat dasselbe, als drehe sich oa direkt nach oc. In Gleichungen ausgedrückt ist dies

i2 i a=e eedh Oa⸗s de dn e oa 2 1 ob oa oa 4 oder auch i, il.Ou= Ole ge Da ha— iz oa, d. h. ig in=— iz. oa oc oc Dass aber o:a: oc=— i, ergiebt sich so: es ist oc: oa= 1:(oa: oc)= 1: iz= iz;: 132² = i,:— 1=— iz, weil iz?, wie wir gleich sehen werden, gleich— 1 ist. Läſst man also auf

einen Vektor die Rotation i und dann i, einwirken, so ist das Resultat dem entgegengesetzt, welches man erhält, wenn man erst in und dann is zur Einwirkung bringt.

Dieser Eigentümlichkeit der Rotationsbewegungen im Raume, die wir an einem besonderen Falle erläutert haben, entspricht nun allgemein der Satz, daſs qi qæ nicht immer gleich qa qi ist. Nur wenn qi und qa derselben Ebene angehören, so hat man qi qæ= qh qli-

Nun aber kommt folgende Schwierigkeit. Zwei Quaternionen q= b: a und qæ= d: c können immer auf eine solche Form gebracht werden, dass der Zähler des einen gleich dem Nenner des anderen Quotienten ist. Es geschieht dies leicht unter Zuziehung der Schnittliniender Ebenen von qi und qa. Nehmen wir nun an, es sei dadurch geworden m /

m n 4 n m qi= 1 und 42, so ist qu ςᷣł. Es wäre aber auch 6e d=p 1. B wenn wir die Vereinfachung, welche in dieser letzten Gleichung vorgenommen ist, zulieſsen. Da- mit wäre dann bewiesen, daſs qi qæ= qa qi, im Widerspruch mit dem obigen Nachweise, wonach diese Gleichung nicht allgemein stattfinden darf. Dieser Widerspruch fällt weg, wenn wir

annehmen, in dem einen der Produkte