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have done, any one direction as a fixed standard with which all others are to be compared, and which they treat as the direction of positive unity. And my reason for abandoning any attempt at such a standard, is simply that no one line(even through a fixed point) is common to all the planes which can be drawn(even through the same fixed point). If this appears to be an inconvenience, at first setting out, and if, in fact, it compels me to assume rules for multiplication in geometry, which are alltogether unlike old rules, in one essential respect (imis=— i in), I must plead that it is not my fault, if tridimensional space be a somewhat more complex conception than space of only two dimensions. And on the other hand 1 claim that an advantage and a power are gained by the changes which are thus necessitated.

4.— Es erscheint überhaupt als eine eigentümliche Auffassung, die Methode Hamilton's mit Benutzung von Voraussetzungen, die der englische Gelehrte ganz ablehnt, als unzulässig hinstellen zu wollen. Als fehlerhaft konnte die Quaterniontheorie nur nachgewiesen werden aus ihren eigenen Voraussetzungen. Dieselben sind aber einfach folgende.

Nachdem 4=2 definiert ist, setzt man die Regeln der Arithmetik als auch ferner giltig

voraus in der Folgerung d= a= b. 4.a——. a— b;

dieselbe sagt aus, daſs wenn man eine Strecke a in der Ebene der Quaternion q mit q multi- pliziert, dann a übergeführt wird nach Gröſse und Richtung in die Strecke b. Es kommen also dem Faktor q zwei Eigenschaften zu: er streckt oder verkürzt a bis zur Länge b, und dreht ferner a um den Winkel a b. Danach zerlegt sich d in die beiden Factoren Tq und Uq, den Tensor oder Strecker, und den Versor oder Dreher, so daſs 4= TqQ. Uq= Uq. Tq. Ausführlicheres darüber bietet jedes Werk über Quaternionen. Zu dem oben genannten ersten Satze gesellen sich dann noch folgende Annahmen: b C bc b c b b a⸗ b —— 3—= und———— a a a e a a 6 4 a Sätze, mit deren Hilfe es gelingt, mit solchen Vektorenquotienten die vier Grundrechnungen auszu- führen. Wie es dann unter Benutzung derselben möglich ist, Quaternionen von der Form b d li e a 12= 6 rechnend mit einander zu verbinden und als Ergebnis immer wieder neue Quaternionen zu er-

halten, ist in den Werken über Quaternionen nachgewiesen.

5.— Eine Bemerkung ist jedoch noch zuzufügen. In der Theorie der Quaternionen nimmt man zwar an, dals b e b G à à:

nicht aber dals 41 zu demselben Ergebnis führe, mit andern Worten, dals im Allgemeinen

qi de nicht gleich qa q sei. Zu dieser für den ersten Augenblick höchst willkürlich und be-

fremdlich erscheinenden Annahme wird man qurch die Eigentümlichkeit der Bewegung im Raume

geführt, dals wenn zwei Rotationen um verschiedene einander schneidende Axen auf denselben 2