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worin w, x, y und ⁊ reelle Zahlen sind, il, i, i, aber Constanten, die man als Quaternionen mit rechtem Winkel, oder auch als zu einander rechtwinklige Einheitsstrecken auffassen kann.
2.— Es mag unmittelbar klar sein, ist aber übrigens durch Definition ausdrücklich für diese Quotienten festgestellt, dals zwei Quaternionen
. qr= b: a und q== d:
nur dann einander gleich sind, wenn sie in den oben genannten vier Stücken vollständig überein- stimmen; wenn also die absoluten Längenverhältnisse von b: a und von d: c einander gleich sind, ebenso die Winkel ab und cd nach Grölse und Drehungsrichtung, und wenn überdiels die Ebenen ab und cd entweder zusammen fallen, oder doch einander parallel sind. Mit andern Worten, es ist qu= 4e, wenn die Dreiecke, worin a, b und c, d homologe Seiten vorstellen, ähnlich sind und in parallelen Ebenen ähnlich liegen. Daraus folgt, daſs gleiche Winkel derselben Ebene, bei gleicher Drehungsrichtung und gleichlangen Schenkeln, auch stets dieselbe Quaternion ergeben, also z. B. die vier rechten Winkel eines Axenkreuzes. Sollte man ein Bedenken dagegen haben, dals Quaternionen, deren Elemente in verschiedenen aber parallelen Ebenen liegen, einander gleich sein könnten, so bieten die longimetrischen und die Biquaternionen ein Mittel, die hier bestehende Verschiedenheit in Rechnung zu bringen, wo sich dies als nötig herausstellen sollte.
3.— Es muls daher Herrn Dr. Scheffler bestritten werden, Hamilton einen Fehler nachgewiesen zu haben, wenn der gelehrte Herr Baurat zeigt, dals nach den Grundsätzen seines „Situationkalkuls“ Vektorenquotienten nur dann im Allgemeinen gleich sind, wenn dieselben nicht derselben oder parallelen Ebenen angehören. Nach dieser Ansicht ist nämlich b: a gleich c: b, wenn die Ebene be mit der Ebene a b denselben Keil bildet, wie ab mit einer durch a gehenden festen Grundebene, so daſs z. B. für die Kanten einer dreiseitigen regulären Pyramide OABC, wenn man die Ebene A 0C als Grundebene annimmt, 0O B: OA gleich 0 C: OB ist. Man kann Herrn Dr. Scheffler zugeben, daſs er auf diese Art die Gleichheit zweier Streckenquotienten definieren und darauf eine Untersuchungsmethode bauen könne. Andere haben dasselbe oder Khnliches ja auch schon vor ihm gethan. Dann sind diese Quotienten aber nicht solche, die nach Hamilton einander gleich sind, und die Weiterentwicklung des Situationskalkuls wird dadurch eine andere, als die der Quaternionentheorie. Die Auffassung Hamilton's aber als falsch oder auch nur als enger hinzustellen, als die eigene, dazu fehlt Herrn Scheffler jede Berechtigung. Eine einfache Betrachtung zeigt überdies, daſs auf diesem Wege die Gleichheit zweier Vektorenquotienten gar nichts diesen Begriffen absolut zukommendes ist, sondern mit der Lage der Grundebene sich ändert, eine Wandelbarkeit, welche die Theorie der Quaternionen ganz absichtlich vermeidet. Zudem war Hamilton die Betrachtungsweise des Situationscalculs nicht etwa ganz unbekannt. Schon 1836 hatte er selbst ähnliche, ganz bestimmt aber auch JTohn Graves und 1846 Charles Graves entsprechende Untersuchungen geführt, wie Hamilton in der Einleitung zu seinen Lectures pag. 35 in ausführlicher Weise mitteilt. Da dieselben aber auf Ausdrücke leiteten, wonach aà(b+ c) nicht gleich a. b+ a. c ist, so standen Hamilton und, wie es scheint, auch die Gebrüder Graves, von der Ausbildung dieser Theorie ab. Nicht uninteressant ist in Beziehung auf die Entwicklung der Ansichten Hamilton's eine Stelle aus einem Briefe desselben vom 24. Januar 1857, der sich abgedruckt findet in Nichol's Physical Sciences pag. 809. Dort sagt er: I am obliged to sacrifice a simplification which Argand in his less extensive theory was able to introduce and in which he has been followed by many other authors since. For I am unable to assume, as Argand(1806) and other authors