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5.— Die Anwendung der neuen Rechnungsregeln auf Vektoren kann nun aber ferner zu Ergebnissen führen, die mit älteren Sätzen in Widerspruch zu stehen scheinen. So erzielt die Quaternionenrechnung Werte P QV— 1 die mit ähnlichen Ausdrücken P.+ Q V— 1 multi- pliziert Null ergeben, ohne dalſs einer der Faktoren Null ist. Auch die longimetrischen Funktionen führen zu Ausdrücken, die auf das Quadrat erhoben zu Null werden. Eine Unrichtigkeit darf man hierin nicht mehr finden, als in dem Satz, daſs es Fälle giebt, wo zwei Kräfte in einer Ebene nicht durch eine dritte Kraft im Gleichgewicht gehalten werden können, nämlich in dem Falle des Kräftepaares. Wenn dann mit Zahlausdrücken, die solchen Kräftepaaren entsprechen, gerechnet wird, so können sich Resultate ergeben, die unseren hergebrachten Vorstellungen aller- dings nicht entsprechen.

Dass mit den hier vorgetragenen Ansichten nicht der Willkürlichkeit Thür und Thor geöffnet werden soll, versteht sich. Die Wahl, welche Rechnungsprinzipien bei Erweiterung einer Rech- nungsart beibehalten, welche verlassen werden sollen, wird geregelt durch das Prinzip der Permanenz der Rechnungsgesetze einerseits, wodurch man mögliche Gleichartigkeit in diesen Gesetzen festzuhalten sucht, andrerseits aber auch durch das Bestreben, nicht zu complizierte Formeln und Rechnungs- ausdrücke zu erlangen. Das Ankämpfen des Herrn Dr. Scheffler gegen ein willkürliches An- nehmen von Gesetzen in der Arithmetik hat daher insofern kein rechtes Objekt, als derartige An- nahmen immer nur gemacht wurden unter dem Einflusse irgend einer Eigentümlichkeit des Substrates. auf das die Rechnung angewendet werden sollte. Nirgends aber, weder bei Hamilton, noch bei Grassmann und Hankel sollen dadurch„Schatten“ zu einer Wirklichkeit gemacht werden.

§. 3. Die Quaternionen als Vektorenquotienten.

1.— Von dem Bestreben ausgehend, die Untersuchungen im dreidimensionelen Raume der Rechnung zu unterwerfen, d. h. einem Verfahren, welches mittelst der Operationen der allgemeinen Arithmetik die Eigenschaften räumlicher Gebilde zu ermitteln gestattet, und zwar, wie schon mehrfach erwähnt, nicht nur die der Quantität, sondern auch die der Lage, bezeichnet Hamilton mit dem Namen einer Quaterion das Ergebnis der Messung einer Strecke b durch eine Strecke a, die beide als von demselben Punkte ausgehend gedacht werden. Zur Andeutung dieser Messung

benutzt er das Zeichen des Quotienten und setzt b

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Dabei soll dieser geometrische Quotient— nicht blols ein Ausdruck für das Längenverhältnis von b zu a sein; es soll in— überdies Berücksichtigung finden die Gröſse des Winkels ab, sowie die Stellung der Ebene ab im Raume. Man sieht also, dals— abhängig ist von vier Elementen: dem absoluten Längenverhältnis von b zu a, dem Winkel, den diese Strecken mit einander bilden, und den zwei Stücken, wodurch die Stellung der Ebene ab im Raume fest- gelegt ist, also entweder(um es bergmännisch auszudrücken) durch das Fallen und Streichen dieser Ebene, oder durch die Winkel, welche eine Normale zu der Ebene mit den Axen eines Koordinaten- systems bildet. In welcher Weise diese vier Elemente in dem Ausdrucke für q auftreten, sieht man von vorn herein nicht. Es mag genügen, zu erwähnen, daſs es u. A. gelingt, b: a zu ent- wickeln in einen Ausdruck von der Form

d= Wxii †yie+ 2i,