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Scheffler's bei uns. Konnte sich doch vor einigen Jahren ein groſses englisches Blatt bei der Besprechung des Bildungsstandes in England im Vergleich mit dem Deutschlands damit brüsten, dals es fragte, welches Mitglied des preufsischen Herrenhauses denn wie Lord N. N. mit Professor Tait über Quaternionen disputieren könne?— UÜbrigens war Hamilton seiner Schöpfung gegenüber der bescheidenen Ansicht, daſs er zwar auf diesem Gebiete etwas geleistet habe, as an honourable Suitor of Science, dals aber in Bezug auf die Quaternionen the bow awaits yet its Ulysses. Zugleich erwähnt er dabei mit hoher Anerkennung die Leistungen von Möbius und Grassmann und drückt seine Freude aus über die Ubereinstimmung, die in gewissen Resultaten der Forschungen jener Männer und seiner eigenen Arbeiten zu Tage treten.

3.— Die teilweise Gleichheit oder völlige UÜbereinstimmung in den vorstehend für einen Vektor r gegebenen Ausdrücken kann schon als Zeugnis dafür gelten, dals die Schlüsse, die zu deren Aufstellung führten, nicht absolut unrichtig sein können, daſs dieselben jedenfalls nicht ein so scharfes Aburteilen rechtfertigen, wie dies von Herrn Scheffler beliebt worden ist. Die Art und Weise, wie mit diesen Ausdrücken nun gerechnet wird, bestimmt sich zum Teil nach den Grundsätzen, von denen man bei ihrer Ermittelung ausgieng. Dals man aber so viel als möglich in Ubereinstimmung zu bleiben suchte mit den Gesetzen, die auch in der allgemeinen Arithmetik gelten, ist selbstverständlich: man würde ja andernfalls gerade einen Hauptvorteil verlieren, den die rechnende Methode bietet.

Dagegen lieſs sich auch vermuten, daſs die Rechnung mit Vektoren, d. h. mit Strecken, welche Länge und Richtung in sich vereinen, in einzelnen Fällen zu anderen Rechnungsarten zwänge, als die Operationen mit Längen allein. Ein solches erweitertes Verfahren muſste dabei aber doch so definiert werden, dafs die entsprechende Rechnung der allgemeinen Arithmetik als besonderer Fall der neuen Rechnung erscheint. In der That sind Hamilton und Grassmann und ebenso Scheffler zu solchen Neuerungen gelangt. Die beiden ersten sahen sich nämlich zu einer Multiplikation gezwungen, für welche das kommutative Prinzip nicht mehr gilt, bei der daher, wenn a und b verschieden gerichtete Strecken bedeuten, a. b nicht gleich b. a ist; während Scheffler in seinem Situationskalkul sich genötigt sieht, anzunehmen, daſs a(b+ c) nicht immer gleich a. b+ a. c ist, d. h. daſs das distributive Prinzip der Multiplikation nicht immer gilt.

4.— ISt nun die Annahme der Ungiltigkeit eines für gewöhnliche Zahlen geltenden Satzes ein Zeichen dafür, dals die Methode, die dazu führte, unzulässig sei? Gewils nicht; es ist dies nur die Folge der Erweiterung des arithmetischen Gebietes, wobei Eigenschaften der Objekte in Rechnung gezogen werden sollen, die früher nicht berücksichtigt wurden, und die nicht bei allen Gröfsenarten sich finden. So mufs die Zulässigkeit der oben angedeuteten nicht kommutativen Multiplikation zugestanden werden, sobald der Raum Eigenschaften zeigt, die jene Regeln fordern und dieselben damit rechtfertigen. Eine solche Eigentümlichkeit des dreidimensionalen Raumes ist z. B. die, dafs zwei aufeinander folgende Rotationen um verschiedene Axen nicht zu demselben Resultate führen, wenn man die Aufeinanderfolge der Drehungen ändert. Ein Ausdruck dieses Ergebnisses liegt aber in dem merkwürdigen Satz, dessen Richtigkeit wir noch zeigen werden, dals

11 i,=— ig ist. Es ware möglich, dafs wenn man der Rechnung andere Substrate unterwürfe als den Raum, und dabei auch andere Eigenschaften derselben in Rechnung zöge, als deren bloſse Quantität, man zu noch anderen neuen Rechnungsgesetzen gelangen könnte, die aber nur Geltung hätten für die gerade der Betrachtung unterzogenen Objekte.