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Punkt wirken. Wie man auf diese Weise Summationen von Strecken bewirkt, so kann man die- selben Grölsen auch in ihre Summanden zerlegen. Was sich aber mit Beachtung dieser einfachen Regeln erreichen läſst, erkennt man aus den Arbeiten von Möbius, Hamilton, Grassmann, Scheffler, Bellavitis und anderer, welche alle diese Streckenaddition einer Reihe von Unter- suchungen zu Grunde legten, und mit ihrer Hilfe eine neue und eigentümliche Art analytischer Geometrie gründeten.

2.— Unter Benutzung der angedeuteten Regeln sind dann Hamilton, Grassmann und Scheffler auch zu Zahlausdrücken für Vektoren im Raume gekommen.

Mit Anlehnung an die Argand'sche Darstellung der Strecke r in einer Ebene durch

r=xyV= stellte Scheffler einen Vektor r im Raume dar durch r= aeaV= 1. esV 1, oder r=XV IzV- iV l, oder auch endlich durch r= X Py. i+ 2. i. il, wobei V— 1=i und VY= 1=i Drehfaktoren um Winkel von 90⁰ in der Ebene der Xy und der y z darstellen.

Grassmann kommt nach einer sehr ausführlichen Untersuchung der Rechnung mit Zahlen von n Einheiten, und namentlich der dabei möglichen zahlreichen Produktbildungen, zu dem Ausdrucke

T= àl ei+. a+ a es für einen Vektor im dreidimensionelen Raume. Es sind dabei ei, e und es Einheitslängen auf drei zu einander senkrechten Axen, während al*, und g die Malszahlen der Koordinaten des Endpunktes von r sind.

Auch Hamilton ist zu seinen Ausdrücken für Strecken im Raume nicht direkt gelangt. Wie er in der äulserst interessanten 60 Seiten langen Einleitung zu seinem Lectures on Quaternions erzählt, gieng er ursprünglich davon aus, die Algebra als die Science of pure time zu betrachten, in welcher nur ein Vorwärts- und Rückwärtsschreiten möglich ist. Die„Schritte«(steps) in der Zeit verband er zu couples, zu triplets etc. und erweiterte diese Kombinationen allmälig zu- „Sets“, d. h. Verbindungen oder Zahlausdrücken mit n von einander unabhängigen Einheiten, von welchen„sets« dann schlieſslich, nach dem Übergang auf den Raum von n Dimensionen, die Strecken oder Vektoren im dreidimensionalen Raume der besondere Fall der triplets sind. Die Quaternionen aber sind das Resultat der Multiplikation oder Division dieser triplets, d. h. der räumlichen Vektoren. Als Ausdruck für einen solchen Vektor fand er

r=i yj. 25, oder r= XiI+ yie+ z 13, worin X, y, z die Koordinaten des Endpunktes von'r in einem rechtwinkligen Koordinatensysteme sind, i, j und k, resp. il, in, i aber Einheitslängen auf diesen Axen darstellen. Mathematische Unter- suchen theoretischer und spekulativer Art, wie sie Hamilton ursprünglich führte, freilich mit dem ausgesprochenen Zwecke, ein arithmetisches Werkzeug zur Untersuchung des dreidimensionalen Raumes zu schaffen, sind bei unseren Stammesverwandten jenseits des Kanals überhaupt gar nicht so selten, wie wir dies von den praktischen Engländern zu glauben geneigt sind. Und so ist denn auch gerade die Lehre von den Quaternionen, denen gegenüber sich unsre Mathematiker etwas kühl verhalten, in England viel bekannter, als die Untersuchungen Grassmann's und